Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße X beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau", die binomialverteilte Zufallsgröße Y, wie oft dabei die Farbe „Gelb" erzielt wird.

Begründen Sie, dass X und Y die gleiche Standardabweichung haben.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Ist beispielsweise beim einmaligen Drehen des Glücksrads p die Wahrscheinlichkeit dafür, die Farbe „Blau" zu erzielen, dann ist 1−p die Wahrscheinlichkeit dafür, die Farbe „Gelb" zu erzielen.

Damit ist σ=100⋅p⋅(1−p) die Standardabweichung für X und Y, da das Produkt p⋅(1−p) den gleichen Wert annimmt.

 

Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)

X: Anzahl, wie oft die Farbe „Blau" erzielt wird.

Y: Anzahl, wie oft die Farbe „Gelb" erzielt wird.

Die Zufallsgröße X ist nach B(100;p) binomialverteilt. Dann ist die Zufallsgröße Y nach B(100;1−p) binomialverteilt

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung - binomialverteilte Zufallsgröße

Erwartungswert μ einer binomialverteilten Zufallsgröße X

μ=E(X)=n⋅p  (vgl. Merkhilfe)

Varianz Var(X) einer binomialverteilten Zufallsgröße X:

Var(X)=n⋅p⋅(1−p)  (vgl. Merkhilfe)

Standardabweichung σ einer binomialverteilten Zufallsgröße X

σ=Var(X)=n⋅p⋅(1−p)

Wobei n die Länge der Bernoullikette und p die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.

Standardabeiwchung von X

 

σ=100⋅p⋅(1−p)

Standardabeiwchung von Y

 

σ=100⋅(1−p)⋅(1−(1−p))=100⋅(1−p)⋅p