Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau", die binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\), wie oft dabei die Farbe „Gelb" erzielt wird.
Begründen Sie, dass \(X\) und \(Y\) die gleiche Standardabweichung haben.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Ist beispielsweise beim einmaligen Drehen des Glücksrads \(p\) die Wahrscheinlichkeit dafür, die Farbe „Blau" zu erzielen, dann ist \(1 - p\) die Wahrscheinlichkeit dafür, die Farbe „Gelb" zu erzielen.
Damit ist \(\sigma = \sqrt{100 \cdot p \cdot (1-p)}\) die Standardabweichung für \(X\) und \(Y\), da das Produkt \(p \cdot (1-p)\) den gleichen Wert annimmt.
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
\(\textcolor{#0087c1}{X}\): Anzahl, wie oft die Farbe „Blau" erzielt wird.
\(\textcolor{#e9b509}{Y}\): Anzahl, wie oft die Farbe „Gelb" erzielt wird.
Die Zufallsgröße \(\textcolor{#0087c1}{X}\) ist nach \(B(100;\textcolor{#0087c1}{p})\) binomialverteilt. Dann ist die Zufallsgröße \(\textcolor{#e9b509}{Y}\) nach \(B(100;1-\textcolor{#0087c1}{p})\) binomialverteilt
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(\mu = E(X) = n \cdot p\) (vgl. Merkhilfe)
Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\):
\(Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\) (vgl. Merkhilfe)
Standardabweichung \(\boldsymbol{\sigma}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.
Standardabeiwchung von \(\textcolor{#0087c1}{X}\)
\[\sigma = \sqrt{100 \cdot \textcolor{#0087c1}{p} \cdot (1-\textcolor{#0087c1}{p})}\]
Standardabeiwchung von \(\textcolor{#e9b509}{Y}\)
\[\sigma = \sqrt{100 \cdot (1-\textcolor{#0087c1}{p}) \cdot \left(1-(1-\textcolor{#0087c1}{p})\right)} = \sqrt{100 \cdot (1-\textcolor{#0087c1}{p}) \cdot \textcolor{#0087c1}{p}}\]
