Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,5 % ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % ebenfalls positiv.

Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert.

(Ergebnis: 9 %)

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Baumdiagramm und Pfadregeln anwenden

Ereignisse festlegen, beispielsweise wie folgt:

$T$: „Das Testergebnis ist positiv."

$\bar{T}$: „Das Testergebnis ist negativ."

$A$: „Person leidet an einer Tierhaarallergie."

$\bar{A}$: „Person leidet nicht an einer Tierhaarallergie."

Analyse der Angabe:

„... zeigt sich, dass der Hauttest ... mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,5 % ein positives Testergebnis liefert."

$$⟹P(T)=\mathrm{0,395}$$

„Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % positiv."

$$⟹P_A(T)=0,85$$

„Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % ebenfalls positiv."

$$⟹P_{\bar{A}}(T)=0,35$$

Veranschaulichung mithilfe eines Baumdiagramms:

Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Berechnung der Wahrscheinlichkeit $P(A)$:

Mithilfe der 1. und der 2. Pfadregel lässt sich die Wahrscheinlichkeit $P(T)$ formulieren. Auf die unbekannte Wahrscheinlichkeit $P(\bar{A})$ wendet man die Knotenregel an und erhält somit einen Gleichung für die zu berechnende Wahrscheinlichkeit $P(A)$.

$$\begin{array}{rl}P(A\cap T)+P(\bar{A}\cap T)& =P(T)\\ \underset{\text{2. Pfadregel}}{\underbrace{\underset{\text{1. Pfadregel}}{\underbrace{P(A)\cdot P_A(T)}}+\underset{\text{1. Pfadregel}}{\underbrace{P(\bar{A})\cdot P_{\bar{A}}(T)}}}}& =P(T)& & |P(\bar{A})=1-P(A)\\ P(A)\cdot P_A(T)+(1-P(A))\cdot P_{\bar{A}}(T)& =P(T)\\ P(A)\cdot P_A(T)+P_{\bar{A}}(T)-P(A)\cdot P_{\bar{A}}(T)& =P(T)& & |P(A)\text{ausklammern}\\ P(A)\cdot (P_A(T)-P_{\bar{A}}(T))+P_{\bar{A}}(T)& =P(T)& & |-P_{\bar{A}}(T)\\ P(A)\cdot (P_A(T)-P_{\bar{A}}(T))& =P(T)-P_{\bar{A}}(T)& & |:(P_A(T)-P_{\bar{A}}(T))\\ P(A)& =\frac{P(T)-P_{\bar{A}}(T)}{P_A(T)-P_{\bar{A}}(T)}\\ & =\frac{\mathrm{0,395}-0,35}{0,85-0,35}\\ & =0,09\\ & =9\mathrm{\%}\end{array}$$

Der Anteil der Bevölkerung Deutschlands, der allergisch auf Tierhaare reagiert, beträgt 9 %.

Die Beschreibung des Lösungswegs wird übersichtlicher, wenn man die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(A)$ beispielsweise durch $p$ sowie $P(\bar{A})$ durch $1-p$ ersetzt, und den Ansatz mithilfe der Werte der gegebenen Wahrscheinlichkeiten formuliert.

Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten

$P(A)=p$, $P(\bar{A})=1-p$

$$\begin{array}{rl}p\cdot 0,85+(1-p)\cdot 0,35& =\mathrm{0,395}\\ p\cdot 0,85+0,35-p\cdot 0,35& =\mathrm{0,395}& & |p\text{ausklammern}\\ p\cdot (0,85-0,35)+0,35& =\mathrm{0,395}& & |-0,35\\ p\cdot 0,5& =\mathrm{0,045}& & |:0,5\\ p& =0,09\\ & =9\mathrm{\%}\end{array}$$

$$P(A)=p=9\mathrm{\%}$$

Der Anteil der Bevölkerung Deutschlands, der allergisch auf Tierhaare reagiert, beträgt 9 %.