Berechnen Sie \(\displaystyle \int_{2}^{4} g(t)\,dt\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.
(Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5)
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3c
Bestimmtes Integral berechnen, Bedeutung im Sachzusammenhang
\[g(t) = -\frac{\pi}{8} \sin \left( \frac{\pi}{2}t \right)\,; \enspace D = \mathbb R_{0}^{+}\]
Berechnung von \(\displaystyle \int_{2}^{4}g(t)\,dt\)
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\int_{2}^{4}g(t)\,dt = G(4) - G(2)\]
Stammfunktion \(G\) der Funktion \(g\) bestimmen:
Wichtige unbestimmte Integrale:
\[\int f(ax + b)\;dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\]
Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
\[\int \sin x\;dx = -\cos x + C\]
(vgl. Merkhilfe)
\[g(t) = -\frac{\pi}{8} \sin \left( \frac{\pi}{2}t \right)\]
\[\begin{align*}G(t) &= -\frac{\pi}{8} \cdot \frac{1}{\frac{\pi}{2}} \cdot \left( -\cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) \right) + C \\[0.8em] &= \frac{\pi}{8} \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) + C \\[0.8em] &= \frac{1}{4}\cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) + C \end{align*}\]
Bestimmtes Integral berechnen:
\[\begin{align*} \int_{2}^{4}g(t)\,dt &= \left[ G(t) \right]_{2}^{4} \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{4}\cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) \right]_{2}^{4} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left[\cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) \right]_{2}^{4} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left[ \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot 4 \right) - \cos\left( \frac{\pi}{2} \cdot 2 \right) \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left[ \cos(2\pi) - \cos(\pi)\right] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot [1 - (-1)] \\[0.8em] &= 0{,}5 \end{align*}\]
Bedeutung des Werts des Integrals im Sachzusammenhang
![Flächenstück, das der Graph der Funktion g für t ∈ [2;4] mit der x-Achse einschließt.](/images/stories/B2015_PT_B_A_2/B2015_PT_B_A_2_3c.png "Flächenstück, das der Graph der Funktion g für t ∈ [2;4] mit der x-Achse einschließt.")
Für \(t \in \; ]2;4[\) verläuft der Graph der Funktion \(g\) oberhalb der \(t\)-Achse. Demnach atmet die Testperson während der Zeit zwischen der zweiten und vierten Sekunde seit Beobachtungsbeginn ein (siehe Angabe Aufgabe 3). Das Integral \(\displaystyle \int_{2}^{4} g(t)\,dt\) errechnet das Luftvolumen, welches die Testperson während dieser zwei Sekunden einatmet.
Also bedeutet der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{4} g(t)\,dt = 0{,}5\), dass die Testperson in der Zeit von der zweiten bis zur vierten Sekunde seit Beobachtungsbeginn 0,5 Liter Luft einatmet.
