Der Graph von \(f\) soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in \(\mathbb R\) definierte quadratische Funktion \(q\) betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt \((0|2)\) hat und durch den Punkt \((4|f(4))\) verläuft.
Ermitteln Sie den Term \(q(x)\) der Funktion \(q\), ohne dabei zu Runden.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Funktionsbestimmung
1. Lösungansatz: Anwendung der Differentialrechnung - Funktionsbestimmung
Allgemeiner Ansatz einer quadratischen Funktion \(q\):
\[g(x) = ax^{2} + bx + c; \; D = \mathbb R\]
Zur Bestimmung der Koeffizienten \(a\). \(b\) und \(c\) werden drei Gleichungen benötigt, welche sich aus den genannten Bedingungen ergeben.
Die Bedingung, dass die Parabel der Funktion \(q\) den Scheitelpunkt \((0|2)\) haben soll liefert zwei Gleichungen. Einmal muss \(2 = q(0)\) gelten. Zudem ist der Scheitelpunkt der Extrempunkt der Parabel von \(q\). Das bedeutet, dass die Steigung der Tangente an die Parabel von \(q\) an der Stelle \(x = 0\) den Wert Null annimmt. Folglich muss \(0 = q'(0)\) gelten.
Die Parabel soll durch den Punkt \((4|f(4))\) verlaufen. Daraus ergibt sich die dritte Gleichung: \(f(4) = g(4)\)
Gleichungssystem aufstellen:
\[\begin{align*}\text{I} & & & \quad \,\, 2 = q(0) \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \quad \,\, 0 = q'(0) \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace &f(4) = q(4) \end{align*}\]
Funktionswert \(f(4)\) exakt angeben, ohne zu runden (vgl. Angabe):
\[f(4) = e^{\frac{1}{2} \cdot \, 4} + e^{-\frac{1}{2} \cdot \, 4} = e^{2} + e^{-2}\]
Ableitung \(q'\) des allgemeinen Ansatzes von \(q\) bilden:
Die Ableitung \(q'\) des allgemeinen Ansatzes der quadratischen Funktion \(q\) kann mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Faktor- und der Summenregel gebildet werden.
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[g(x) = ax^{2} + bx + c; \; D = \mathbb R\]
\[q'(x) = 2ax + b\]
Gleichungssystem lösen:
\[\Longrightarrow \quad \left\{ \begin{align*}\text{I} & & & \qquad \quad \, 2 = q(0) = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = c \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \qquad \quad \, 0 = q'(0) = 2a \cdot 0 + b = 0 = b \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace &e^{2} + e^{-2} = q(4) = a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c \end{align*} \right.\]
Die Werte für die Koeffizienten \(b\) und \(c\) ergeben sich bereits aus Gleichung I bzw. II. Setzt man diese in Gleichung III ein, erhält man den Wert für den Koeffizienten \(a\) (Öffnungsfaktor der Parabel von \(q\)).
\[\begin{align*}b = 0, c = 2 \; \text{in III}\, \colon \, e^{2} + e^{-2} &= a \cdot 4^{2} + 0 \cdot 4 + 2 \\[0.8em] e^{2} + e^{-2} &= 16a + 2 & &| -2 \\[0.8em] e^{2} + e^{-2} - 2 &= 16a & &| : 16 \\[0.8em] \frac{e^{2} + e^{-2} - 2}{16} &= a \end{align*}\]
Funktionsterm \(q(x)\) angeben:
\[q(x) = \frac{e^{2} + e^{-2} - 2}{16} \cdot x^{2} + 2; \; D = \mathbb R\]
2. Lösungansatz: Entwicklung einer Funktion bzw. Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Ansatz für die quadratische Funktion \(q\) formulieren:
Der Scheitelpunkt der Parabel einer quadratischen Funktion \(p \colon x \mapsto ax^{2}\) liegt im Koordinatenursprung.
Die Parabel der gesuchten quadratischen Funktion \(q\) geht durch Verschiebung der Parabel der Funktion \(p\) um 2 in positive \(x\)-Richtung hervor.
Die Bedingung, dass die Parabel der quadratischen Funktion \(q\) durch den Punkt \((4|f(4))\) verlaufen soll, legt den Öffnungsfaktor \(a\) fest.
Verschieben von Funktionsgraphen
\[g(x) = f(x +a) + b\]
Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)
\[p(x) = ax^{2}; \; D = \mathbb R\]
\[q(x) = p(x) + 2 = ax^{2} + 2\]
\[\Longrightarrow \quad q(x) = ax^{2} + 2; \; D = \mathbb R\]
Als Alternative kann der Ansatz mithilfe der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion erfolgen.
Quadratische Funktion:
\[f(x) = ax^2 + bx + c\,; \quad a, b, c \, \in \, \mathbb R\,, a \neq 0\]
Scheitelpunktform
\[f(x) = a(x - d)^2 + e\]
Scheitelpunkt
\[S\,(d|e) \qquad d = -\frac{b}{2a}\,; \quad e = c - \frac{b^2}{4a}\]
\(q(x) = a \cdot (x - d)^{2} + e; \; D = \mathbb R\) mit Scheitelpunkt \(S(d|e)\)
Mit \(S(0|2) \in q\) folgt:
\[q(x) = a \cdot (x - 0)^{2} + 2 = ax^{2} + 2\]
\[\Longrightarrow \quad q(x) = ax^{2} + 2; \; D = \mathbb R\]
Öfnnungsfaktor \(a\) berechnen:
Die Parabel der quadratischen Funktion \(q\) soll durch den Punkt \((4|f(4))\) verlaufen. Damit ist der Öffnungsfaktor \(a\) eindeutig festgelegt.
\(f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1a)
Funktionswert \(f(4)\) exakt angeben, ohne zu runden (vgl. Angabe):
\[f(4) = e^{\frac{1}{2} \cdot \, 4} + e^{-\frac{1}{2} \cdot \, 4} = e^{2} + e^{-2}\]
\(\Longrightarrow \quad\)Die Parabel von \(q\) verläuft durch den Punkt \(\big(4 \big| e^{2} + e^{-2}\big)\)
\[\begin{align*} q(x) &= ax^{2} + 2 \\[0.8em] e^{2} + e^{-2} &= a \cdot 4^{2} + 2 \\[0.8em] e^{2} + e^{-2} &= 16a + 2 & &| - 2 \\[0.8em] e^{2} - e^{-2} - 2 &= 16a & &| : 16 \\[0.8em] \frac{e^{2} + e^{-2} - 2}{16} &= a \end{align*}\]
Funktionsterm \(q(x)\) angeben:
\[q(x) = \frac{e^{2} + e^{-2} - 2}{16} \cdot x^{2} + 2; \; D = \mathbb R\]
![Graph der Funktion f und Graph der Funktion q für x ∈ [-4;4]](/images/stories/B2016_PT_B_A_1/B2016_PT_B_A_1_2c.png "Graph der Funktion f und Graph der Funktion q für x ∈ [-4;4]")
Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\) und Graph der quadratischen Funktion \(\displaystyle q \colon x \mapsto \frac{e^{2} - e^{-2} - 2}{16} \cdot x^{2} + 2\) mit den gemeinsamen Punkten \((0|2)\) und \(\big( 4 \big| e^{2} + e^{-2} \big)\)
