Abiturlösungen Mathematik Bayern 2016

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Der Graph von \(f\) soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in \(\mathbb R\) definierte quadratische Funktion \(q\) betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt \((0|2)\) hat und durch den Punkt \((4|f(4))\) verläuft.

Ermitteln Sie den Term \(q(x)\) der Funktion \(q\), ohne dabei zu Runden.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

Funktionsbestimmung

 

1. Lösungansatz: Anwendung der Differentialrechnung - Funktionsbestimmung

 

Allgemeiner Ansatz einer quadratischen Funktion \(q\):

 

\[g(x) = ax^{2} + bx + c; \; D = \mathbb R\]

 

Zur Bestimmung der Koeffizienten \(a\). \(b\) und \(c\) werden drei Gleichungen benötigt, welche sich aus den genannten Bedingungen ergeben.

Die Bedingung, dass die Parabel der Funktion \(q\) den Scheitelpunkt \((0|2)\) haben soll liefert zwei Gleichungen. Einmal muss \(2 = q(0)\) gelten. Zudem ist der Scheitelpunkt der Extrempunkt der Parabel von \(q\). Das bedeutet, dass die Steigung der Tangente an die Parabel von \(q\) an der Stelle \(x = 0\) den Wert Null annimmt. Folglich muss \(0 = q'(0)\) gelten.

Die Parabel soll durch den Punkt \((4|f(4))\) verlaufen. Daraus ergibt sich die dritte Gleichung: \(f(4) = g(4)\)

 

Gleichungssystem aufstellen:

 

\[\begin{align*}\text{I} & & & \quad \,\, 2 = q(0) \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \quad \,\, 0 = q'(0) \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace &f(4) = q(4) \end{align*}\]

 

Funktionswert \(f(4)\) exakt angeben, ohne zu runden (vgl. Angabe):

 

\[f(4) = e^{\frac{1}{2} \cdot \, 4} + e^{-\frac{1}{2} \cdot \, 4} = e^{2} + e^{-2}\]

 

Ableitung \(q'\) des allgemeinen Ansatzes von \(q\) bilden:

Die Ableitung \(q'\) des allgemeinen Ansatzes der quadratischen Funktion \(q\) kann mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Faktor- und der Summenregel gebildet werden.

Ableitungregeln

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

Faktorregel

\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[g(x) = ax^{2} + bx + c; \; D = \mathbb R\]

 

\[q'(x) = 2ax + b\]

 

Gleichungssystem lösen:

 

\[\Longrightarrow \quad \left\{ \begin{align*}\text{I} & & & \qquad \quad \, 2 = q(0) = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = c \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \qquad \quad \, 0 = q'(0) = 2a \cdot 0 + b = 0 = b \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace &e^{2} + e^{-2} = q(4) = a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c \end{align*} \right.\]

 

Die Werte für die Koeffizienten \(b\) und \(c\) ergeben sich bereits aus Gleichung I bzw. II. Setzt man diese in Gleichung III ein, erhält man den Wert für den Koeffizienten \(a\) (Öffnungsfaktor der Parabel von \(q\)). 

 

\[\begin{align*}b = 0, c = 2 \; \text{in III}\, \colon \, e^{2} + e^{-2} &= a \cdot 4^{2} + 0 \cdot 4 + 2 \\[0.8em] e^{2} + e^{-2} &= 16a + 2 & &| -2 \\[0.8em] e^{2} + e^{-2} - 2 &= 16a & &| : 16 \\[0.8em] \frac{e^{2} + e^{-2} - 2}{16} &= a \end{align*}\]

 

Funktionsterm \(q(x)\) angeben:

 

\[q(x) = \frac{e^{2} + e^{-2} - 2}{16} \cdot x^{2} + 2; \; D = \mathbb R\]

 

2. Lösungansatz: Entwicklung einer Funktion bzw. Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

 

Ansatz für die quadratische Funktion \(q\) formulieren:

Der Scheitelpunkt der Parabel einer quadratischen Funktion \(p \colon x \mapsto ax^{2}\) liegt im Koordinatenursprung.

Die Parabel der gesuchten quadratischen Funktion \(q\) geht durch Verschiebung der Parabel der Funktion \(p\) um 2 in positive \(x\)-Richtung hervor.

Die Bedingung, dass die Parabel der quadratischen Funktion \(q\) durch den Punkt \((4|f(4))\) verlaufen soll, legt den Öffnungsfaktor \(a\) fest.

Verschieben von Funktionsgraphen

Verschieben von Funktionsgraphen

\[g(x) = f(x +a) + b\]

Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)

\[p(x) = ax^{2}; \; D = \mathbb R\]

\[q(x) = p(x) + 2 = ax^{2} + 2\]

 

\[\Longrightarrow \quad q(x) = ax^{2} + 2; \; D = \mathbb R\]

 

Als Alternative kann der Ansatz mithilfe der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion erfolgen.

Quadratische Funktion - Scheitelpunktform

Quadratische Funktion:

\[f(x) = ax^2 + bx + c\,; \quad a, b, c \, \in \, \mathbb R\,, a \neq 0\]

Scheitelpunktform

\[f(x) = a(x - d)^2 + e\]

Scheitelpunkt

\[S\,(d|e) \qquad d = -\frac{b}{2a}\,; \quad e = c - \frac{b^2}{4a}\]

\(q(x) = a \cdot (x - d)^{2} + e; \; D = \mathbb R\) mit Scheitelpunkt \(S(d|e)\)

 

Mit \(S(0|2) \in q\) folgt:

 

\[q(x) = a \cdot (x - 0)^{2} + 2 = ax^{2} + 2\]

 

\[\Longrightarrow \quad q(x) = ax^{2} + 2; \; D = \mathbb R\]

 

Öfnnungsfaktor \(a\) berechnen:

Die Parabel der quadratischen Funktion \(q\) soll durch den Punkt \((4|f(4))\) verlaufen. Damit ist der Öffnungsfaktor \(a\) eindeutig festgelegt.

 

\(f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1a)

 

Funktionswert \(f(4)\) exakt angeben, ohne zu runden (vgl. Angabe):

 

\[f(4) = e^{\frac{1}{2} \cdot \, 4} + e^{-\frac{1}{2} \cdot \, 4} = e^{2} + e^{-2}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Die Parabel von \(q\) verläuft durch den Punkt \(\big(4 \big| e^{2} + e^{-2}\big)\)

 

\[\begin{align*} q(x) &= ax^{2} + 2 \\[0.8em] e^{2} + e^{-2} &= a \cdot 4^{2} + 2 \\[0.8em] e^{2} + e^{-2} &= 16a + 2 & &| - 2 \\[0.8em] e^{2} - e^{-2} - 2 &= 16a & &| : 16 \\[0.8em] \frac{e^{2} + e^{-2} - 2}{16} &= a \end{align*}\]

 

Funktionsterm \(q(x)\) angeben:

 

\[q(x) = \frac{e^{2} + e^{-2} - 2}{16} \cdot x^{2} + 2; \; D = \mathbb R\]

 

Graph der Funktion f und Graph der Funktion q für x ∈ [-4;4]

Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\) und Graph der quadratischen Funktion \(\displaystyle q \colon x \mapsto \frac{e^{2} - e^{-2} - 2}{16} \cdot x^{2} + 2\) mit den gemeinsamen Punkten \((0|2)\) und \(\big( 4 \big| e^{2} + e^{-2} \big)\)