Die SMV eines Gymnasium initiierte im vergangenen Schuljahr die Aktionen „Baumpatenschaft" und „Umweltwoche".
Mit einer Umfrage auf dem Schulfest wird der Bekanntheitsgrad der beiden Aktionen ermittelt. Von den Befragten kennt jeder Fünfte die Aktion „Baumpatenschaft". 24 % der Befragten kennen keine der beiden Aktionen; die Aktion „Umweltwoche" kennen 30 % der Befragten nicht.
Aus den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
\(B\): „Die Person kennt die Aktion ,Baumpatenschaft'."
\(U\): „Die Person kennt die Aktion ,Umweltwoche'."
Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(B\) und \(U\) stochastisch unabhängig sind.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[P(\overline{B}) \cdot P(\overline{U}) = 0{,}8 \cdot 0{,}3 = 0{,}24 = P(\overline{B} \cap \overline{U})\]
Somit sind die Ereignisse \(B\) und \(U\) stochastisch unabhängig.
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
\(B\): „Die Person kennt die Aktion ,Baumpatenschaft'."
\(U\): „Die Person kennt die Aktion ,Umweltwoche'."
„Von den Befragten kennt jeder Fünfte die Aktion „Baumpatenschaft"."
\[P(B) = \frac{1}{5} = \textcolor{#89ba17}{0{,}2}\]
„24 % der Befragten kennen keine der beiden Aktionen ..."
\[P(\overline{B} \cap \overline{U}) = \textcolor{#89ba17}{0{,}24}\]
„... die Aktion „Umweltwoche" kennen 30 % der Befragten nicht."
\[P(\overline{U}) = \textcolor{#89ba17}{0{,}3}\]
Da die Angabe mehr Informationen zu den Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse liefert, erfolgt der Nachweis der stochastischen Unabhängigkeit der Ereignisse \(B\) und \(U\) zeitsparend durch Bestätigung der Gültigkeit der Gleichung \(P(\overline{B}) \cdot P(\overline{U}) = P(\overline{B} \cap \overline{U})\).
Stochastische (Un)Abhängigkeit von zwei Ereignissen
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn
\(P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)\) gilt. (vgl. Merkhilfe) *
Andernfalls heißen die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.
Sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, beeinflusst das Eintreten des Ereignisses \(A\) nicht das Eintreten des Ereignisses \(B\) und umgekehrt.
* Oder wenn
\(P(\overline{A}) \cdot P(B) = P(\overline{A} \cap B)\) bzw.
\(P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B})\) bzw.
\(P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})\) gilt.
\[P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\]
Damit ergibt sich:
\[P(\overline{B}) \cdot P(\overline{U}) = 0{,}8 \cdot 0{,}3 = 0{,}24 = P(\overline{B} \cap \overline{U})\]
Somit sind die Ereignisse \(B\) und \(U\) stochastisch unabhängig.