Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 1

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass der Graph von \(f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\) an.

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Nachweis, dass der Graph von \(f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist

 

\[f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}; \; D_f = \mathbb R\]

Symmetrie von Funktionsgraphen (bzgl. des Koordinatensystems)

Symmetrie von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems

Der Graph einer Funktion \(f\) ist

achsensymmetrisch bzgl. der \(\boldsymbol{y}\)-Achse,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = f(x)\).

Veranschaulichung der Symmetrie bezüglich der y-Achse

punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = -f(x)\)

Veranschaulichung der Symmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs

\[f(\textcolor{#cc071e}{-x}) = \textcolor{#cc071e}{-x} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#cc071e}{(-x)}^2+\frac{1}{2}} = -x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}} = \textcolor{#cc071e}{-}f(x)\]

 

Da \(f(-x) = -f(x)\) gilt, ist der Graph der Funktion \(f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

 

Begründung, dass \(f\) genau eine Nullstelle hat

 

\[f(x) = \textcolor{#0087c1}{x} \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}}_{>\,0}}; \; D_f = \mathbb R\]

Nullstellen einer Funktion bestimmen

Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen

Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).

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Produkt von Funktionen

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)

Quotient von Funktionen

Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)

Quadratische Funktion

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)

 

\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]

 

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

 

Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]

Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)

Ganzrationale Funktion

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3

vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen

Gebrochenrationale Funktion

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.

Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.

(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)

Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.

Sinus- und Kosinusfunktion

\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

Nullstellen der Sinusfunktion x ↦ sin x und der Kosinusfunktion x ↦ cos x

Natürliche Logarithmusfunktion

Nullstelle x = 1 der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).

\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]

Natürliche Exponentialfunktion

Graph der natürlichen Exponentialfunktion x → eˣ

Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!

\[f(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{x = 0}\]

 

Da der Exponentialterm \(\textcolor{#e9b509}{e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}}\) für alle \(x \in \mathbb R\) stets positiv ist, ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\).

  

Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\)

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) = 0\]

 

Begründung (nicht verlangt)

Wichtiger Grenzwert

Wichtiger Grenzwert

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \frac{x^r}{e^x} = 0 \enspace (r > 0)\]

Für \(\,x \to +\infty\,\) wächst \(e^x\) „schneller" als jede Potenz \(x^r \enspace (r > 0)\).

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}} &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^n} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{x}^{\to\,+\infty}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{e^{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}}_{\to\,+\infty}}} &&| \; \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \frac{\textcolor{#0087c1}{x^r}}{\textcolor{#e9b509}{e^x}} = 0 \enspace (r > 0),\; \text{vgl. Merkhilfe}\\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

Für \(x \to +\infty\) wächst \(\textcolor{#e9b509}{e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}}\) schneller als \(\textcolor{#0087c1}{x}\).

 

oder:

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\; \textcolor{#0087c1}{\underbrace{x}_{\to\,+\infty}} \cdot \underbrace{e^{\textcolor{#cc071e}{\overbrace{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}^{\to\,-\infty}}}}_{\to\,0} = 0\]