Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto -cos(\frac{\pi}{2}x)\).
Beschreiben Sie, wie \(G_{f}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von \(g\) einen weiteren Näherungswert für \(F(1)\).

Abbildung 2 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(zur Kontrolle: \(F(1) \approx -\frac{2}{\pi}\))

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

\[x \mapsto \cos{x}\]

\[g(x) = -\cos\left( \frac{\pi}{2}x \right); \; D_{g} = \mathbb R\]

Allgemeine Kosinusfunktion

Allgemeine Kosinusfunktion

\[f(x) = a \cdot \cos(bx + c) + d = a \cdot \cos \left[b \left(x + \frac{c}{b} \right) \right] + d\]

\[a,b,c,d \in \mathbb R\;; \quad a,b \neq 0\;; \quad x \in \mathbb R\]

Streckung um \(a\) in \(y\)-Richtung

Streckung um \(\displaystyle \frac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung, Periode: \(\displaystyle p = \frac{2\pi}{\vert b \vert}\)

Verschiebung um \(\displaystyle -\frac{c}{b}\) in \(x\)-Richtung

Verschiebung um \(d\) in \(y\)-Richtung

 

Beschreibung, wie \(G_{g}\) aus dem Graphen der Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht

 

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse:

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(g(x) = -f(x)\)

Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(h(x) = f(-x)\)

\[\Longrightarrow \quad \textcolor{#cc071e}{x \mapsto -\cos{x}}\]

 

Graph der Funktion x ↦ cos x und Graph der Funktion x ↦ -cos x

Der Graph der Funktion \(\textcolor{#cc071e}{x \mapsto -\cos{x}}\) entsteht durch Spiegelung des Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) an der \(x\)-Achse.

 

2. Streckung in \(x\)-Richtung:

Strecken von Funktionsgraphen

Strecken von Funktionsgraphen

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k}\,\):

\[h(x) = f\left(\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x \right), \enspace k > 0\]

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{\dfrac{1}{k}}\):

\[h(x) = f(\textcolor{#0087c1}{k} \cdot x), \enspace k > 0\]

Streckung in \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#cc071e}{k}\,\):

\[g(x) = \textcolor{#cc071e}{k} \cdot f(x), \enspace k > 0\]

\[\Longrightarrow \quad \textcolor{#0087c1}{-\cos{\left( \frac{\pi}{2}x \right)} = g(x)}\]

 

Graph der Funktion x ↦ -cos x und Graph der Funktion x ↦ -\cos(½πx)

Der Graph der Funktion \(\textcolor{#0087c1}{g \colon x \mapsto -\cos{\left( \dfrac{\pi}{2}x \right)}}\) entsteht durch Streckung des Graphen der Funktion \(\textcolor{#cc071e}{x \mapsto -\cos{x}}\) in \(x\)-Richtung um den Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k = \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{\pi}}\).

 

Anmerkung:

Die Streckung in \(x\)-Richtung um den Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k = \dfrac{2}{\pi}}\enspace(0 < k < 1)\) bewirkt eine Stauchung.

Die Periode \(\textcolor{#cc071e}{p = 2\pi}\) wird dadurch auf \(\textcolor{#0087c1}{p = 2\pi \cdot \dfrac{2}{\pi} = 4}\) verkürzt.

 

Anmerkung:

Es ist ebenso möglich,

1. eine Streckung in \(x\)-Richtung um den Streckungsfaktor \(k = \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{\pi}\)

\(\Longrightarrow \quad x \mapsto \cos{\left( \frac{\pi}{2}x \right)}\) und

2. eine Spiegelung an der \(x\)-Achse

\(\Longrightarrow \quad x \mapsto -\cos{\left( \frac{\pi}{2}x \right)} = g(x)\)

zu beschreiben.

 

Näherungswert von \(F(1)\) durch Integration von \(g\)

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*} F(1) &\approx \int_{0}^{1}g(t)dt \\[0.8em] &= \int_{0}^{1}-\cos{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}dt \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{-\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}}_{\text{Stammfunktion}} \bigg]_{\textcolor{#89ba17}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{1}} \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{1} \right)} -\left( -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot \textcolor{#89ba17}{0} \right)} \right) \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \underbrace{\sin{\left( \frac{\pi}{2} \right)}}_{1} + \frac{2}{\pi} \cdot \underbrace{\sin{0}}_{0} \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \end{align*}\]

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Im Bereich \(0 \leq x \leq 1\) gleicht der Verlauf des Graphen \(G_{g}\) näherungsweise dem Verlauf des Graphen \(G_{f}\).

Die Nullstellen \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = 1\) von \(f\) sind zugleich Nullstellen von \(g\). Denn die Nullstellen der Kosinusfunktion \(x \mapsto \cos{x}\) sind \((2k + 1) \cdot \frac{\pi}{2}\) mit \(k \in \mathbb Z\) (ungeradzahlige Vielfache von \(\frac{\pi}{2}\)). Folglich sind \(2k + 1\) mit \(k \in \mathbb Z\) (ungerade ganze Zahlen) die Nullstellen der Funktion \(g \colon x \mapsto -\cos{\left( \frac{\pi}{2}x \right)}\).

Deshalb lässt sich durch Integration von \(g\) ein Näherungswert für \(F(1)\) berechnen.

 

\[F(1) = \int_{0}^{1}f(t)dt \approx \textcolor{#0087c1}{\int_{0}^{1}g(t)dt}\]

Flächenstücke, welche die Graphen der Funktionen f und g jeweils im Bereich 0 ≤ x ≤ 1 mit der x-Achse einschließen.

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{1}g(t)dt\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(g\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktionen von \(g\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int g(t)dt = \int -\cos{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}dt\).

Mithilfe der unbestimmten Integrale

\(\textcolor{#cc071e}{\displaystyle \int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C}\) und

\(\textcolor{#0087c1}{\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C}\)

ergibt sich:

Wichtige unbestimmte Integrale

Wichtige unbestimmte Integrale (\(C \in \mathbb R\), vgl. Merkhilfe)

\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]

\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]

\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]

\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]

\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]

\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]

\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]

\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]

\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

Es gilt die Faktorregel und die Summenregel:

\(\displaystyle \int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

\( \displaystyle \int \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)

\[\begin{align*}\int -\textcolor{#cc071e}{\cos}{\left(\textcolor{#0087c1}{\frac{\pi}{2}t}\right)}dt &= -\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\sin}{\left( \textcolor{#0087c1}{\frac{\pi}{2}t}\right)} + C \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2}t\right)} + C\end{align*}\]

 

Somit ist \(G \colon t \mapsto -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{2}t \right)}\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(g \colon t \mapsto -\cos{\left( \dfrac{\pi}{2}t \right)}\) (für \(C = 0\)) und es folgt:

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*} F(1) &\approx \int_{0}^{1}g(t)dt \\[0.8em] &= \int_{0}^{1}-\cos{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}dt \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{-\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2}t \right)}}_{\text{Stammfunktion}} \bigg]_{\textcolor{#89ba17}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{1}} \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{1} \right)} -\left( -\frac{2}{\pi} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2} \cdot \textcolor{#89ba17}{0} \right)} \right) \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \cdot \underbrace{\sin{\left( \frac{\pi}{2} \right)}}_{1} + \frac{2}{\pi} \cdot \underbrace{\sin{0}}_{0} \\[0.8em] &= -\frac{2}{\pi} \end{align*}\]