Die Tangente an den Graphen von \(w\) im Punkt \((0|w(0))\) hat die Steigung \(2\). Würde die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe dieser Tangente beschrieben werden, so ergäbe sich für den Zeitpunkt vier Jahre nach der Ansiedlung eine bestimmte Anzahl von Seeadlern. Untersuchen Sie, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von \(w\) ergeben würde.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Gleichung der Tangente an den Graphen von \(w\) im Punkt \((0|w(0))\):
Die Steigung der Tangente ist \(\textcolor{#cc071e}{2}\) (vgl. Angabe). Da der Punkt \((0|w(0))\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(w(\textcolor{#e9b509}{0})\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Gleichung der Tangente.
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[y = \textcolor{#cc071e}{2}x + w(\textcolor{#e9b509}{0})\]
\(w(\textcolor{#e9b509}{0}) = \dfrac{40}{1+e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#e9b509}{0}}} = \dfrac{40}{1+e^0} = \dfrac{40}{1+1} = 20\) (vgl. Teilaufgabe 2b)
\[\Rightarrow \; y = 2x + 20\]
Anzahl der Seeadler nach \(x = \textcolor{#0087c1}{4}\) Jahren im Modell mithilfe der Tangente:
\[y = 2 \cdot \textcolor{#0087c1}{4} + 20 = 28\]
Anzahl der Seeadler nach \(x = \textcolor{#0087c1}{4}\) Jahren im Modell mithilfe des Graphen von \(w\):
\[w(\textcolor{#0087c1}{4}) = \frac{40}{1+e^{-0{,}2 \cdot \textcolor{#0087c1}{4}}} = \frac{40}{1+e^{-0{,}8}} \approx 27{,}6\]
Die Beschreibungen der Entwicklung der Seeadler mithilfe der Tangente und mithilfe des Graphen von \(w\) stimmen in etwa überein.
