Gegeben sind die Punkte \(A(8|0|6)\), \(B(7|1|6)\) und \(S(0|0|10)\), die in der Ebene \(E\) liegen.
Berechnen Sie die Länge der Strecke \([AB]\) und geben Sie die besondere Lage dieser Strecke im Koordinatensystem an.
(zur Kontrolle: \(\overline{AB} = \sqrt{2}\))
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Länge der Strecke \([AB]\)
Die Länge der Strecke \([AB]\) ist gleich dem Betrag des Vektors \(\overrightarrow{AB}\).
\(A(8|0|6)\), \(B(7|1|6)\)
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\overline{AB} &= \vert \overrightarrow{AB} \vert = \vert \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\vert = \left| \begin{pmatrix} 7\\1\\6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8\\0\\6 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}\end{align*}\]
Besondere Lage der Strecke \([AB]\) im Koordinatensystem
Da die Punkte \(A(8|0|\textcolor{#cc071e}{6})\) und \(B(7|1|\textcolor{#cc071e}{6})\) die gleiche \(\textcolor{#cc071e}{x_3}\)-Koordinate haben, verläuft die Strecke \([AB]\) (im Abstand \(\textcolor{#cc071e}{6}\)) parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene.
