Abiturlösungen Mathematik Bayern 2011 G8

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\). Die Abbildung zeigt den in \(\mathbb R\) streng monoton fallenden Graphen \(G_h\) von \(h\) sowie dessen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = 1{,}5\) gegeben ist.

Beschreiben Sie, wie \(G_h\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) hervorgeht.

Abbildung Teilaufgabe 2a: Exponetialfunktion h, streng monoton fallend, Asymptote =1,5

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\(h(x) = 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\)

Natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\)

 

1. Spiegelung an der \(y\)-Achse

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(g(x) = -f(x)\)

Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(h(x) = f(-x)\)

\[\Rightarrow x \mapsto e^{-x}\]

 

2. Streckung in \(x\)-Richtung mit Streckungsfaktor 2 \((k = \frac{1}{2})\)

Strecken von Funktionsgraphen

Strecken von Funktionsgraphen

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k}\,\):

\[h(x) = f\left(\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x \right), \enspace k > 0\]

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{\dfrac{1}{k}}\):

\[h(x) = f(\textcolor{#0087c1}{k} \cdot x), \enspace k > 0\]

Streckung in \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#cc071e}{k}\,\):

\[g(x) = \textcolor{#cc071e}{k} \cdot f(x), \enspace k > 0\]

\[\Rightarrow x \mapsto e^{-0{,}5x}\]

 

3. Streckung in \(y\)-Richtung mit Streckungsfaktor 6

Strecken von Funktionsgraphen

Strecken von Funktionsgraphen

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k}\,\):

\[h(x) = f\left(\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x \right), \enspace k > 0\]

Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{\dfrac{1}{k}}\):

\[h(x) = f(\textcolor{#0087c1}{k} \cdot x), \enspace k > 0\]

Streckung in \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#cc071e}{k}\,\):

\[g(x) = \textcolor{#cc071e}{k} \cdot f(x), \enspace k > 0\]

\[\Rightarrow x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x}\]

 

4. Verschiebung in \(y\)-Richtung um 1,5

Verschieben von Funktionsgraphen

Verschieben von Funktionsgraphen

\[g(x) = f(x +a) + b\]

Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)

\[\Rightarrow h \colon x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\]

 

  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 1
  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 2
  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 3
  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 4
  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 5

Entstehung des Graphen der Funktion \(h \colon x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\) aus dem Graphen der natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^{x}\)