Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I   Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II  Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Abbildung 2 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 2

Abbildung 3 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 3

Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein.

Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2e

 

I   Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II  Der Graph hat keine Extrempunkte.

 

\[a \cdot x^2 = 1 \enspace \Leftrightarrow \enspace x^2 = \frac{1}{a}\]

 

Für \(\boldsymbol{a > 0}\) hat die Gleichung zwei Lösungen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}\) und somit die zugehörigen Graphen von \(f_a\) zwei Extrempunkte. Also gehören zur Gruppe I die Werte \(\boldsymbol{a > 0}\).

Für \(\boldsymbol{a \leq 0}\) kat die Gleichung keine Lösung und somit die zugehörigen Graphen von \(f_a\) keine Extrempunkte. Also gehören zur Gruppe II die Werte \(\boldsymbol{a \leq 0}\).