Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:
I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.
II Der Graph hat keine Extrempunkte.
Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.
Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein.
Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2e
I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.
II Der Graph hat keine Extrempunkte.
\[a \cdot x^2 = 1 \enspace \Leftrightarrow \enspace x^2 = \frac{1}{a}\]
Für \(\boldsymbol{a > 0}\) hat die Gleichung zwei Lösungen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}\) und somit die zugehörigen Graphen von \(f_a\) zwei Extrempunkte. Also gehören zur Gruppe I die Werte \(\boldsymbol{a > 0}\).
Für \(\boldsymbol{a \leq 0}\) kat die Gleichung keine Lösung und somit die zugehörigen Graphen von \(f_a\) keine Extrempunkte. Also gehören zur Gruppe II die Werte \(\boldsymbol{a \leq 0}\).