Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Begründen Sie, dass die Dreiecke \(BCM\) und \(ABM\) den gleichen Flächeninhalt besitzen, ohne diesen zu berechnen.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

1. Möglichkeit: Seitenhalbierende

Seitenhalbierende eines Dreiecks

Besondere Linien und Punkte eines Dreiecks:

Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks verbinden jeweils den Mittelpunkt einer Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt. Sie schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.

Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1.

Die Seitenhalbierenden teilen ein Dreieck jeweils in zwei flächengleiche Dreiecke.

Seitenhalbierende eines Dreiecks

Seitenhalbierende [BM] des Dreiecks ABC

Die Seitenhalbierende \(\textcolor{#cc071e}{[BM]}\) teilt das Dreieck \(ABC\) in die beiden flächeninhaltsgleichen Dreiecke \(ADM\) und \(BCM\).

 

2. Möglichkeit: Flächeninhalt eines Dreiecks

Höhe h der Dreiecke ABM und BCM

Höhe \(\textcolor{#0087c1}{h}\) der Dreiecke \(ABM\) und \(BCM\)

 

Es gilt: \(A_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot \overline{AM} \cdot \textcolor{#0087c1}{h}\) und \(A_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot \overline{CM} \cdot \textcolor{#0087c1}{h}\)

 

Mit \(\overline{AM} = \overline{CM}\) folgt: \(A_{ABM} = A_{BCM}\)