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Aufgabe 1e Analysis II Teil 2 2012 - Abiturlösungen

Abiturlösungen Mathematik Bayern 2012

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Berechnen Sie mithilfe der Funktion \(q\) einen Näherungswert für den Flächeninhalt \(A\) des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Flächeninhalt A des Flächenstücks, das der Graph von q mit der x-Achse einschließt

Der Flächeninhalt \(\,A\,\) des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand entspricht näherungsweise dem Flächeninhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(\,q\,\) mit der \(\,x\)-Achse einschließt. Der Flächninhalt ist ein Näherungswert, weil die Funktion \(q\) den Rand des Kunstwerks nicht exakt beschreibt, sondern nur annähert (siehe Teilaufgabe 1b).

 

\[q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,; \quad D_q = \mathbb R\]

 

\[A = \int_{-2}^2 q(x)\,dx\]

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

Stammfunktion \(Q\) bestimmen:

Stammfunktion einer Potenzfunktion

Stammfunktion einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\]

\[r \neq -1\]

\[\begin{align*} Q(x) &= -0{,}11 \cdot \frac{1}{5}x^5 - 0{,}81 \cdot \frac{1}{3}x^3 + 5x + C \\[0.8em] &= -0{,}022x^5 - 0{,}27x^3 + 5x + C \end{align*}\]

 

Flächeninhalt \(A\) berechnen:

 

\[\begin{align*}A &= \big[ -0{,}022x^5 - 0{,}27x^3 + 5x \, \big]_{-2}^2 \\[0.8em] &= -0{,}022 \cdot 2^5 - 0{,}27 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2 - \big( -0{,}022 \cdot (-2)^5 - 0{,}27 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2) \big) \\[0.8em] &\approx 14{,}3 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt \(A\) des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand beträgt näherungsweise 14,3 m².