Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in \mathbb R\) die Beziehung \(\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\) gilt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1g
Termumformung, Binomische Formeln und Rechenregeln für Potenzen anwenden
\[\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\]
Aus den Teilaufgaben 1a,c ist bekannt:
\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D_{f} = \mathbb R\]
\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right); \; D_{f'} = \mathbb R\]
Der Nachweis der Beziehung \(\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\) lässt sich führen, indem man zunächst die Funktionsterme von \(f(x)\) und \(f'(x)\) in die Gleichung einsetzt und anschließend unter Berücksichtigung der 1. bzw. 2. Binomischen Formel und der Rechenregeln für Potenzen \(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \,\cdot \, n}\) bzw. \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m\, +\, n}\) die Gültigkeit der Beziehung bestätigt.
Für alle \(x \in \mathbb R\) gilt:
\[\begin{align*} \frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} &= \frac{1}{4} \cdot \left(e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2} - \left[\frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right)\right]^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left(e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2} - \frac{1}{4} \cdot \left(e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \bigg[ \underbrace{\left(e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2}}_{\large (a \, + \, b)^{2}} - \underbrace{\left(e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2}}_{\large (a \, - \, b)^{2}} \bigg] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \bigg[ \underbrace{\left( e^{\frac{1}{2}x} \right)^{2} + 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + \left( e^{-\frac{1}{2}x} \right)^{2}}_{\large a^{2} \, + \, 2ab \,+ \, b^{2}} \\[0.8em] &\qquad \quad \; - \bigg( \underbrace{\left( e^{\frac{1}{2}x} \right)^{2} - 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + \left( e^{-\frac{1}{2}x} \right)^{2}}_{\large a^{2} \, - \, 2ab \,+ \, b^{2}} \bigg) \bigg] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left[ e^{x} + 2 \cdot e^{0} + e^{-x} - \left( e^{x} - 2 \cdot e^{0} + e^{-x} \right) \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left( e^{x} + 2 + e^{-x} - e^{x} + 2 - e^{-x} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot 4 \\[0.8em] &= 1\end{align*}\]
