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Aufgabe 1b Stochastik 2 Teil B 2014 - Abiturlösungen

Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch 15 Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder enthalten, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Der Junge erhält zwei Päckchen zu je fünf Bildern, also insgesamt zehn Bilder.

In seinem Album befinden sich \(200 - 15 = 185\) eingeklebte Bilder. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Junge ein Bild erhält, das er schon hat, beträgt demnach \(\frac{185}{200}\). Somit errechnet sich die Wahrscheinlichkeit \(P\) dafür, dass der Junge nur (zehn) Bilder erhält, die er bereits in seinem Sammelalbum hat, zu:

\[P = \left(\frac{185}{200}\right)^{10} \approx 0{,}4586 = 45{,}86\,\%\]

 

Alternativ kann die Situation als Bernoullikette betrachtet werden, mit der Länge \(n = 10\) und der konstanten Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{185}{200} = 0{,}925\), ein bereits vorhandenes Bild zu erhalten.

Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Anzahl der Bilder, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat."

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(10;0{,}925)\) binomialverteilt.

Formel von Bernoulli

Formel von Bernoulli

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:

\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]

\[\begin{align*}P(X = 10) &= B(10; 0{,}925; 10) \\[0.8em] &= \underbrace{\binom{10}{10}}_{1} \cdot 0{,}925^{10} \cdot \underbrace{(1 - 0{,}925)^{10 - 10}}_{1} \\[0.8em] &\approx 0{,}4586 = 45{,}86\,\% \end{align*}\]

 

Anmerkung: \(\displaystyle \binom{n}{k = n} = 1\)