Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{-x^{2} + 2x}{2x^{2} + 4}\). Ihr Graph wird mit \(G_{k}\) bezeichnet.
Geben Sie die Nullstellen von \(k\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(G_{k}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = -0{,}5\) als waagrechte Asymptote besitzt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3a
\[k(x) = \frac{-x^{2} + 2x}{2x^{2} + 4}; \; D_{k} = \mathbb R\]
Nullstellen von \(k\)
Die gebrochenrationale Funktion \(k\) besitzt die Nullstellen \(x_{1} = 0\) und \(x_{2} = 2\)
Begründung (nicht verlangt)
Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion \(k\) sind alle Nullstellen des Zählers \(-x^2 + 2x\), die nicht zugleich Nullstellen des Nenners sind. In diesem Fall besitzt der Nenner mit \(2x^2 + 4 >0\) keine Nullstelle.
Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen
Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)
Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]
Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)
Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:
vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen
Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.
Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.
\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).
\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]
Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!
\[\begin{align*}k(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{\textcolor{#cc071e}{-x^{2} + 2x}}{2x^{2} + 4} &= 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad \enspace \textcolor{#cc071e}{-x^{2} + 2x} &= 0 &&| \; x \; \text{ausklammern (Faktorisieren)} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{x \cdot (-x + 2)} &= 0 \end{align*}\]
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
\[\Longrightarrow \quad x_{1} = 0; \; x_{2} = 2\]
Begründung der waagrechten Asymptote anhand des Funktionsterms
waagrechte Asymptote von \(G_{k}\): \(y = - 0{,}5\) (vgl. Angabe)
1. Möglichkeit: Vergleich des Zähler- und Nennerpolynoms
\[k(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{-x^{2} + 2x}}{\textcolor{#e9b509}{2x^{2} + 4}}; \; D_{k} = \mathbb R\]
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
Da das Zählerpolynom und das Nennerpolynom vom selben Grad sind (Grad 2), besitzt der Graph \(G_{k}\) der gebrochenrationalen Funktion \(k\) eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\mathbf{x}\)-Achse.
Die Gleichung der waagrechten Asymptote lässt sich mithilfe des Quotienten der Faktoren der höchsten Potenzen des Zähler- und Nennerpolynoms ermitteln.
\[k(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{\overbrace{(-1) \cdot x^{2}}^{\text{Faktor -1}}} + 2x}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{2 \cdot x^{2}}_{\text{Faktor 2}}} + 4}; \; D_{k} = \mathbb R\]
\[\Longrightarrow \quad y = \frac{\textcolor{#cc071e}{-1}}{\textcolor{#e9b509}{2}} = -0{,}5\]
\(G_{k}\) besitzt also die Gerade mit der Gleichung \(y = -0{,}5\) als waagrechte Asymptote.
2. Möglichkeit: Grenzwertbetrachtung für \(x \to \pm\infty\)
Die waagrechte Asymptote von \(G_{k}\) bestimmt das Verhalten von \(G_{k}\) im Unendlichen \((x \to \pm \infty)\).
Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x \, \to \,\pm\infty}k(x)\) wird die höchste Potenz des Nennerpolynoms im Zähler und im Nenner ausgeklammert und gekürzt.
\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty}k(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{-x^{2} + 2x}{2\textcolor{#e9b509}{x^{2}} + 4} &&| \; x^{2} \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \left(-1 + \frac{2}{x}\right)}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 2 + \frac{4}{x^{2}} \right)} &&| \;(x \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{-1 + \overbrace{\frac{2}{x}}^{\to\,0}}{2 + \underbrace{\frac{4}{x^{2}}}_{\to\,0}} \\[0.8em] &= -0{,}5 \end{align*}\]
\(G_{k}\) besitzt somit die Gerade mit der Gleichung \(y = -0{,}5\) als waagrechte Asymptote.
