Liegt in einer Stichprobe von 50 Geschwindigkeitsmessungen die Zahl der Tempoverstöße um mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert, geht die Polizei davon aus, dass wirksam vor der Geschwindigkeitskontrolle gewarnt wurde, und bricht die Kontrolle ab. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeitskontrolle fortgeführt wird, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf 10 % gesunken ist.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Tempoverstöße beschreibt. Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(50;0{,}19)\) binomialverteilt.
Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\) berechnen:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(\mu = E(X) = n \cdot p\) (vgl. Merkhilfe)
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.
\[E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}19 = 9{,}5\]
Standardabweichung \(\boldsymbol{\sigma}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist. \(Var(X)\) bezeichnet die Varianz der Zufallsgröße \(X\).
\[\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{50 \cdot 0{,}19 \cdot 0{,}81} \approx 2{,}77\]
\[E(X) - \sigma(X) = 9{,}5 - 2{,}77 = 6{,}73\]
Die Geschwindigkeitskontrolle wird bei 7 und mehr Tempoverstößen fortgeführt.
„... obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf 10 % gesunken ist."
Entsprechend dieser Aussage, lässt sich die Wahrscheinlichkeit, die Geschwindigkeitskontrolle irrtümlich fortzuführen, mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) wie folgt berechnen:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)
Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:
\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]
Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.
\[\begin{align*}P_{0{,}1}^{50}(X \geq 7) &= 1 - P_{0{,}1}^{50}(X \leq 6) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}77023 \\[0.8em] &= 0{,}22977 \\[0.8em] &\approx 23{,}0\,\% \end{align*}\]