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1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung - Abiturskript

Abiturskript Mathematik Bayern

Mit vielen Beispielen, ausführlichen Lösungen und zahlreichen erklärenden Grafiken

 

Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung

Es sei eine Gerade \(g\) mit der Steigung \(m\) sowie eine nicht lineare Funktionenschar \(f_{k}\) gegeben. Für welchen Wert des Parameters \(k\) besitzt der zugehörige Graph der Funktionenschar \(f_{k}\) an einer bestimmten Stelle \(x_{0}\) die gleiche Steigung wie die Gerade \(g\)?

Die Steigungen der Kurvenschar an der Stelle \(x_{0}\) entsprechen den Steigungen der Tangenten an die Kurvenschar an der Stelle \(x_{0}\). Die erste Ableitung \(f'_{k}(x_{0})\) beschreibt die Tangentensteigungen der Kurvenschar an der Stelle \(x_{0}\) (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung).

Folglich muss an der Stelle \(x_{0}\) gelten:

 

\[f'_{k}(x_{0}) = m\]

 

Beispiel:

Kurvenschar der Funktionenschar f und Gerade g

Geben sei die Funktionenschar \(f_{k}(x) \colon x \mapsto k \cdot \sqrt{25 - x^{2}}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f_{k}} = [-5;5]\) und \(k > 0\) sowie die Gerade \(g \colon x \mapsto -3x + 8\) (vgl. Abbildung).

Bestimmen Sie denjenigen Wert des Parameters \(k\), sodass der zugehörige Graph der Funktionenschar \(f_{k}\) an der Stelle \(x_{0} = 4\) die Steigung der Geraden \(g\) besitzt.

 

\[f_{k}(x) = k \cdot \sqrt{25 - x^{2}}; \; D_{f_{k}} = [-5;5], \; k > 0\]

\[g(x) = -3x + 8\]

\[x_{0} = 4\]

 

Dem Funktionsterm \(g(x)\) der Geraden \(g\) kann die Steigung zu \(m = -3\) entnommen werden.

 

Ansatz formulieren:

 

\[\begin{align*}f'_{k}(x_{0}) &= m \\[0.8em] f'_{k}(4) &= -3 \end{align*}\]

 

Erste Ableitung \(f'_{k}\) bilden:

Der Funktionsterm \(f_{k}(x)\) lässt sich mithilfe der Faktorregel, der Kettenregel, der Ableitung einer Wurzelfunktion und der Ableitung einer Potenzfunktion ableiten. Als Alternative formuliert man den Funltionsterm \(f_{k}(x)\) vorab in der Potenzschreibweise. Der Parameter \(k\) wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt (vgl. Abiturskript - 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f_{k}(x) = k \cdot \sqrt{25 - x^{2}}\]

 

\[\begin{align*} f'_{k}(x) &= k \cdot \frac{1}{2\sqrt{25 - x^{2}}} \cdot (-2x) \\[0.8em] &= -\frac{kx}{\sqrt{25 - x^{2}}} \end{align*}\]

 

oder:

 

\[\begin{align*}f_{k}(x) &= k \cdot \sqrt{25 - x^{2}} & &| \; \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \\[0.8em] &= k \cdot (25 - x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}f'_{k}(x) &= k \cdot \frac{1}{2} \cdot (25 - x^{2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) & &| \; a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}; \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= -\frac{kx}{\sqrt{25 - x^{2}}} \end{align*}\]

 

Wert des Parameters \(k\) berechnen:

 

\[x_{0} = 4; \enspace m = -3\]

 

\[\begin{align*}f'_{k}(x_{0}) &= m \\[0.8em] f'_{k}(4) &= -3 \\[0.8em] -\frac{k \cdot 4}{\sqrt{25 - 4^{2}}} &= -3 \\[0.8em] -\frac{4k}{3} &= -3 & &| \cdot (-3) \\[0.8em] 4k &= 9 & &| : 4 \\[0.8em] k &= \frac{9}{4} \\[0.8em] k &= 2{,}25 \end{align*}\]

 

Für \(k = 2{,}25\) besitzt der Graph der zugehörigen Scharfunktion \(f_{2{,}25}\) an der Stelle \(x_{0} = 4\) die Steigung der Geraden \(g\).

 

Graph der Schaffunktion für k = 2,25

Graph \(G_{f_{2{,}25}}\) der Scharfunktion \(f_{2{,}25} \colon x \mapsto 2{,}25 \cdot \sqrt{25 - x^{2}}\), dessen Steigung an der Stelle \(x_{0} = 4\) gleich der Steigung der Geraden \(g\) ist.

 

Beispielaufgabe

Gegeben sei die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto kx \cdot \ln{x} + k\) mit \(k > 0\).

Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(k\) so, dass die Tangente an den zugehörigen Graphen der Funktionenschar \(f_{k}\) an der Stelle \(x_{0} = 4\) parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III Quadranten verläuft.

 

\[f_{k}(x) = kx \cdot \ln{x} + k; \; D_{f_{k}} = \mathbb R^{+}, \; k > 0\]

 

Die Tangente an einen Graphen der Funktionenschar \(f_{k}\) verläuft parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten, wenn die Steigung \(m_{T}\) der Tangente gleich der Steigung \(m_{W}\) der Winkelhalbierenden ist (vgl. Abiturskript - 1.1.1 Lineare Funktion, parallele Geraden). Es gilt: \(m_{W} = 1\).

Die erste Ableitung \(f'_{k}(x_{0})\) beschreibt die Steigung einer Tangente \(T\) an einen Graphen der Funktionenschar \(f_{k}\) an einer betrachteten Stelle \(x_{0}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung).

Mit \(x_{0} = 4\) folgt:

 

\[\begin{align*}m_{T} &= m_{W} \\[0.8em] f'_{k}(x_{0}) &= m_{W} \\[0.8em] f'_{k}(4) &= 1 \end{align*}\]

 

Erste Ableitung \(f'_{k}\) bilden:

Der Funktionsterm \(f_{k}(x)\) kann mithilfe der Produktregel, der Ableitung der Natürlichen Logarithmusfunktion und der Summenregel abgeleitet werden. Der Parameter \(k\) wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt (vgl. Abiturskript - 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[\begin{align*}f_{k}(x) &= kx \cdot \ln{x} + k \\[0.8em] &= k \cdot (x \ln{x} + 1 ) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}f'_{k}(x) &= k \cdot \left( 1 \cdot \ln{x} + x \cdot \frac{1}{x} + 0 \right) \\[0.8em] &= k \cdot (\ln{x} + 1) \end{align*}\]

 

Wert des Parameters \(k\) berechnen:

 

\[x_{0} = 4; \enspace m_{W} = 1\]

 

\[\begin{align*} f'_{k}(x_{0}) &= m_{W} \\[0.8em] k \cdot (\ln{4} + 1) &= 1 & &| : (\ln{4} + 1) \\[0.8em] k &= \frac{1}{\ln{4} + 1} \\[0.8em] k &= \frac{1}{\ln{2^{2}}+ 1} & &| \log_{a}{b^{n}} = n \cdot \log_{a}{b} \\[0.8em] k &= \frac{1}{2\ln{2} + 1} \\[0.8em] k &\approx 0{,}42\end{align*}\]

 

Für \(k = \dfrac{1}{2\ln2 + 1}\) verläuft die Tangente an den zugehörigen Graphen der Funktionenschar \(f_{k}\) an der Stelle \(x_{0} = 4\) parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten.

 

Tangente T, welche an der Stelle x₀ = 4 füt den Parameterwert k ≈ 0,42 zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten parallel verläuft.

Tangente \(T\) an den für \(k = \dfrac{1}{2\ln2 + 1}\) zugehörigen Graphen der Funktionenschar \(f_{k}\) an der Stelle \(x_{0} = 4\), welche parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III, Quadranten ist.