Bei einer Losbude wird damit geworben, dass jedes Los gewinnt. Die Lose und die zugehörigen Sachpreise können drei Kategorien zugeordnet werden, die mit „Donau", „Main" und „Lech" bezeichnet werden. Im Lostopf befinden sich viermal so viele Lose der Kategorie „Main" wie Lose der Kategorie „Donau". Ein Los kostet 1 Euro. Die Inhaberin der Losbude bezahlt im Einkauf für einen Sachpreis in der Kategorie „Donau" 8 Euro, in der Kategorie „Main" 2 Euro und in der Kategorie „Lech" 20 Cent. Ermitteln Sie, wie groß der Anteil der Lose der Kategorie „Donau" sein muss, wenn die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von 35 Cent pro Los erzielen will.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2
Es sei \(G\) die Zufallsgröße, welche den Gewinn der Inhaberin pro Los in Euro beschreibt.
Es sei \(p\) der Anteil der Lose der Kategorie „Donau".
Dann ist \(4p\) der Anteil der Lose der Kategorie „Main" („...viermal so viele ...", vgl. Angabe) und \(1 - p - 4p = 1- 5p\) der Anteil der Lose der Kategorie „Lech" (Summe der Anteile ist gleich Eins).
„... wenn die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von 35 Cent pro Los erzielen will." bedeutet, dass der Erwartungswert des Gewinns pro Los 0,35 Euro betragen soll.
\[\Longrightarrow \quad E(G) = 0{,}35\]
Außerdem gilt: Gewinn pro Los = Einsatz (1€) - Kosten pro Sachpreis
Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\):
| Kategorie | Donau | Main | Lech |
| \(G = g_{i}\) | \(1 - 8 = -7\) | \(1 - 2 = -1\) | \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\) |
| \(P(G = g_{i})\) | \(p\) | \(4p\) | \(1 - 5p\) |
Mit \(E(G) = 0{,}35\) folgt:
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*} (-7) \cdot p + (-1) \cdot 4p + 0{,}8 \cdot (1 - 5p) &= 0{,}35 \\[0.8em] -7p -4p + 0{,}8 - 4p &= 0{,}35 \\[0.8em] -15p + 0{,}8 &= 0{,}35 &&| - 0{,}8 \\[0.8em] -15p &= -0{,}45 &&| : (-15) \\[0.8em] p &= 0{,}03 \end{align*}\]
Damit die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von 35 Cent erzielt, muss der Anteil der Lose der Kategorie „Donau" 3 % sein.
