\(E\) gehört zur Schar der Ebenen \(E_k \colon ky - 5z = 5k - 60\) mit \(k \in \mathbb R\). Die Strecke \(\overline{BC}\) liegt auf jeder Ebene dieser Schar.
Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(k\), für die \(E_k\) mit der Seitenfläche \(ADS\) mindestens einen Punkt gemeinsam hat.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe d
Die Ebenenschar \(E_k \colon ky - 5z = 5k - 60\) mit \(k \in \mathbb R\) beschreibt ein Ebenenbüschel mit der gemeinsamen Schnittgerade \(BC\).
Die Ebene, die den Punkt \(\textcolor{#cc071e}{S}\) enthält, hat mit der Seitenfläche \(ADS\) genau diesen einen Punkt \(\textcolor{#cc071e}{S}\) gemeinsam. Rotiert die Ebene gegen den Uhrzeigersinn um die Gerade \(BC\), entsteht eine Schnittlinie mit der Seitenfläche \(ADS\) (nicht dargestellt). Erreicht die Ebene die Kante \(\overline{AD}\), hat sie mit der Seitenfläche \(ADS\) alle Punkte der Kante \(\overline{AD}\) gemeinsam.
Um den Bereich der Werte von \(k\) zu ermitteln, für die \(E_k\) mit der Seitenfläche \(ADS\) mindestens einen Punkt gemeinsam hat, werden einmal die Koordinaten von \(\textcolor{#cc071e}{S}\) und einmal die Koordinaten von \(\textcolor{#0087c1}{A}\) oder \(\textcolor{#0087c1}{D}\) in die Gleichung von \(E_k\) eigesetzt, und diese jeweils nach \(k\) aufgelöst.
Da die Teilpyramiden \(ABCDS\) und \(ABCDT\) gleich hoch sind (vgl. Angabe), gilt \(\textcolor{#cc071e}{S(0|0|24)}\).
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{S(0|0|24)} \in E_k \colon k \cdot \textcolor{#cc071e}{0} - 5 \cdot \textcolor{#cc071e}{24} &= 5k - 60 \\[0.8em] -120 &= 5k - 60 &&| + 60 \\[0.8em] -60 &= 5k &&| : 5 \\[0.8em] k &= -12\end{align*}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{A(5|-5|12)} \in E_k \colon k \cdot \textcolor{#0087c1}{(-5)} - 5 \cdot \textcolor{#0087c1}{12} &= 5k - 60 \\[0.8em] -5k -60 &= 5k - 60 &&| + 60 \\[0.8em] -5k &= 5k \\[0.8em] k &= 0\end{align*}\]
Für \(k \in [-12;0]\) hat die Schar der Ebenen \(E_k\) mit der Seitenfläche \(ADS\) mindestens einen Punkt gemeinsam.
