Abiturlösungen Mathematik Bayern 2018

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.

Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

Veranschaulichung der Berechnung der größtmöglichen Wassertiefe des Aquariums: f(0,2) - f(1)
 

Die Kurve \(k\) enthält für \(0{,}2 \leq x \leq 4\) den Graphen \(G_{f}\). Der Punkt \((0{,}2|f(0{,}2))\) liegt somit auf der Wasseroberfläche des vollständig gefüllten Aquariums (vgl. Angabe Teilaufgabe 2c). Der Tiefpunkt \(T(1|-2)\) von \(G_{f}\) (vgl. Teilaufgabe 1a) beschreibt einen Punkt auf dem Beckengrund des Aquariums .

Somit lässt sich die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums wie folgt berechnen:

 

\(f(x) = 2 \cdot \left( \left( \ln{x} \right)^{2} - 1 \right); \; 0{,}2 \leq x \leq 4\)

 

\[f(0{,}2) - f(1) = 2 \cdot \left( \left( \ln{0{,}2} \right)^{2} - 1 \right) - (-2) \approx 5{,}18\]

 

Die größtmögliche Wassertiefe des Aquarium beträgt ca. 5,18 Meter.