Wird die Temperatur \(T\) eines Körpers verdoppelt, so nimmt das Maximum der Intensität seiner Strahlung den achtfachen Wert an. Begründen Sie diese Tatsache.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2e
\[I_{T}(x) = \frac{x^3}{e^{\frac{x}{T}} - 1}\,; \quad D = \mathbb R^{+}\,, \enspace T \in \mathbb R^{+}\]
Für das Maximum der Intensität der Strahlung eines Körpers mit der Frequenz \(x_{max}\) und der Temperatur \(T\) gilt (siehe Teilaufgaben 2b,c und 1d):
\(\displaystyle \frac{x_{max}}{T} = a \enspace \Longleftrightarrow \enspace x_{max} = a \cdot T\enspace\) mit \(a \approx 2{,}82\)
\[\Longrightarrow \quad I_{T}(x_{max}) = I_{T}(a \cdot T) = \frac{(a \cdot T)^3}{e^{\frac{a \cdot T}{T}} - 1} = \frac{a^{3} T^{3}}{e^{a} - 1} \]
\[\Longrightarrow \quad I_{T}(x_{max}) \sim T^{3}\]
Die maximale Intensität \(I_{T}(x_{max})\) ist direkt proportional zu \(T^3\). Folglich verachtfacht sich \(I_T(x_{max})\) bei Verdopplung der Temperatur \(T\).
Maximale Intensität \(I_{2T}(x_{max})\) der Strahlung eines Körpers mit doppelt so hoher Temperatur \(2T\):
\[I_{2T}(x_{max}) = \frac{a^3 (2T)^3}{e^a - 1} = \frac{8 \cdot a^3 T^3}{e^a - 1} = 8 \cdot I_{T}(x_{max})\]
