Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion  $f:x\mapsto -x^2+2ax$ mit $a\in ]1;+\mathrm{\infty }[$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3$ hat.

(2 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 3a

$$f(x)=-x^2+2ax;a\in ]1;+\mathrm{\infty }[$$

Nullstellen von $f$: $x=0$ und $x=2a$

Das bestimmte Integral ${\displaystyle {\int }_0^{2a}f(x)dx}$ errechnet die Maßzahl des Flächeninhalts des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.

(vgl. Abiturskript - 1.6.4 Flächenberechnung (Integralrechnung))

$$\begin{array}{rl}A& ={\int }_0^{2a}f(x)dx\\ & ={\int }_0^{2a}(-x^2+2ax)dx& & |\int x^{r}dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C(r\ne -1)\text{(vgl. Merkhilfe)}\\ & =[\underset{\text{Stammfunktion}}{\underbrace{-\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2}}{]}_0^{2a}\\ & =-\frac{1}{3}\cdot (2a{)}^3+a\cdot (2a{)}^2-(-\frac{1}{3}\cdot 0^3+a\cdot 0^2)\\ & =-\frac{1}{3}\cdot 8a^3+a\cdot 4a^2-0\\ & =-\frac{8}{3}{a}^3+4a^3\\ & =\frac{4}{3}{a}^3\end{array}$$