Gegeben ist eine Bernoullikette mit der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Erklären Sie, dass für alle \(k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\) die Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) gilt. 

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

\[B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k); \enspace k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\]

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.

Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.

Die Wahrscheinlichkeit \(B(n;p;k)\) dafür, dass bei einem Bernoulli-Experiment ein betrachtetes Ereignis mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) von \(n\) Wiederholungen genau \(k\)-mal eintritt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit \(B(n; 1-p; n - k)\) dafür, dass dessen Gegenereignis mit der Wahrscheinlichkeit \(1 - p\) (kein Treffer) von \(n\) Wiederholungen genau \((n - k)\)-mal eintritt.

oder

Bei einem Bernoulli-Experiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Treffer zu erzielen gleich \(1 - p\). Bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, genau \(k\) Treffer zu erzielen, gleich der Wahrscheinlichkeit dafür, genau \((n - k)\)-mal keinen Treffer zu erzielen. 

 

Ergänzung (nicht verlangt)

Die Gültigkeit der Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) lässt sich rechnerisch nachweisen.

Formel von Bernoulli

Formel von Bernoulli

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:

\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} B(n;p;k) &= B(n; 1 - p; n - k) \\[0.8em] \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \binom{n}{n - k} \cdot (1 - p)^{n - k} \cdot (1 - (1 - p))^{n - (n - k)} \\[0.8em] \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \binom{n}{n - k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0.8em] \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \frac{n!}{(n - k)! \cdot (n - (n - k))!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0.8em] \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0.8em] \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \qquad \text{(w)} \end{align*}\]