Gegeben ist eine Bernoullikette mit der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Erklären Sie, dass für alle \(k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\) die Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) gilt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3
\[B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k); \enspace k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\]
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.
Die Wahrscheinlichkeit \(B(n;p;k)\) dafür, dass bei einem Bernoulli-Experiment ein betrachtetes Ereignis mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) von \(n\) Wiederholungen genau \(k\)-mal eintritt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit \(B(n; 1-p; n - k)\) dafür, dass dessen Gegenereignis mit der Wahrscheinlichkeit \(1 - p\) (kein Treffer) von \(n\) Wiederholungen genau \((n - k)\)-mal eintritt.
oder
Bei einem Bernoulli-Experiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Treffer zu erzielen gleich \(1 - p\). Bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, genau \(k\) Treffer zu erzielen, gleich der Wahrscheinlichkeit dafür, genau \((n - k)\)-mal keinen Treffer zu erzielen.
Ergänzung (nicht verlangt)
Die Gültigkeit der Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) lässt sich rechnerisch nachweisen.
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} B(n;p;k) &= B(n; 1 - p; n - k) \\[0.8em] \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \binom{n}{n - k} \cdot (1 - p)^{n - k} \cdot (1 - (1 - p))^{n - (n - k)} \\[0.8em] \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \binom{n}{n - k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0.8em] \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \frac{n!}{(n - k)! \cdot (n - (n - k))!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0.8em] \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0.8em] \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \qquad \text{(w)} \end{align*}\]
