Expand To Show Full Article
Aufgabe 2a Analysis 1 Teil B 2014 - Abiturlösungen

Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h\,\colon x \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) ist die Parabel \(G_h\). Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist ein Teil dieser Parabel.

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_h\) mit der durch die Gleichung \(y = x\) gegebenen Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten.

(Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: -2 und 4)

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\,; \quad D = \mathbb R\]

\[w\,\colon\, y = x\]

 

Zur Berechnung der Schnittpunkte werden die Funktionsterme der Funktion \(h\) und der Winkelhalbierenden \(w\) gleichgesetzt.

 

\[\begin{align*} -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4 &= x & &| - x \\[0.8em] -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 &= 0 \end{align*}\]

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)

\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot 4}}{2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)} \\[0.8em] &= \frac{-1 \pm 3}{-1} \end{align*}\]

\[x_1 = -2\,; \quad x_2 = 4\]

 

\[w\,\colon\,y = x \quad \Longrightarrow \quad y_1 = -2\,; \quad y_2 = 4\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{1}\,(-2|-2)\,, \quad S_{2}\,(4|4)\]