Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h\,\colon x \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) ist die Parabel \(G_h\). Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist ein Teil dieser Parabel.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_h\) mit der durch die Gleichung \(y = x\) gegebenen Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten.
(Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: -2 und 4)
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\,; \quad D = \mathbb R\]
\[w\,\colon\, y = x\]
Zur Berechnung der Schnittpunkte werden die Funktionsterme der Funktion \(h\) und der Winkelhalbierenden \(w\) gleichgesetzt.
\[\begin{align*} -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4 &= x & &| - x \\[0.8em] -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 &= 0 \end{align*}\]
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)
\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot 4}}{2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)} \\[0.8em] &= \frac{-1 \pm 3}{-1} \end{align*}\]
\[x_1 = -2\,; \quad x_2 = 4\]
\[w\,\colon\,y = x \quad \Longrightarrow \quad y_1 = -2\,; \quad y_2 = 4\]
\[\Longrightarrow \quad S_{1}\,(-2|-2)\,, \quad S_{2}\,(4|4)\]
