Bei Flugzeugen eines anderen Typs Y liegt ein Mangel der Klimaanlage mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % vor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, beträgt 5 %. Wenn mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, so funktioniert mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % die Beleuchtung nicht einwandfrei. Stellen Sie zu der für Flugzeuge des Typs Y beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3c
Analyse der Angabe:
"... liegt ein Mangel der Klimaanlage mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % vor."
\[\Longrightarrow \quad P(\overline{K}) = 0{,}04\]
"Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, beträgt 5 %."
\[\Longrightarrow \quad P(\overline{K} \cup \overline{B}) = P(\overline{K \cap B}) = 0{,}05\]
\[\Longrightarrow \quad P(K \cap B) = 1 - P(\overline{K} \cup \overline{B}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\]
| \(K\) | \(\overline{K}\) | ||
| \(B\) | \(0{,}95\) | ||
| \(\overline{B}\) | |||
| \(0{,}04\) | \(1\) |
"Wenn mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, so funktioniert mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % die Beleuchtung nicht einwandfrei."
\[\Longrightarrow \quad P_{\overline{K} \cup \overline{B}}(\overline{B}) = 0{,}4\]
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[P_{\overline{K} \cup \overline{B}}(\overline{B}) = \frac{P\left[ (\overline{K} \cup \overline{B}) \cap \overline{B} \right]}{P(\overline{K} \cup \overline{B})} = \frac{P(\overline{B})}{P(\overline{K} \cup \overline{B})}\]
\[\Longrightarrow \quad P(\overline{B}) = P_{\overline{K} \cup \overline{B}}(\overline{B}) \cdot P(\overline{K} \cup \overline{B}) = 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}02\]
| \(K\) | \(\overline{K}\) | ||
| \(B\) | \(0{,}95\) | ||
| \(\overline{B}\) | \(0{,}02\) | ||
| \(0{,}04\) | \(1\) |
Vierfeldertafel vervollständigen:
\[P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98\]
\[P(K) = 1 - P(\overline{K}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\]
\[P(B \cap \overline{K}) = P(B) - P(B \cap K) = 0{,}98 - 0{,}95 = 0{,}03\]
\[P(K \cap \overline{B}) = P(K) - P(B \cap K) = 0{,}96 - 0{,}95 = 0{,}01\]
\[P(\overline{B} \cap \overline{K}) = P(\overline{B}) - P(\overline{B} \cap K) = 0{,}02 - 0{,}01 = 0{,}01\]
oder
\[P(\overline{B} \cap \overline{K}) = P(\overline{K}) - P(B \cap \overline{K}) = 0{,}04 - 0{,}03 = 0{,}01\]
| \(K\) | \(\overline{K}\) | ||
| \(B\) | \(0{,}95\) | \(\bf{0{,}03}\) | \(\bf{0{,}98}\) |
| \(\overline{B}\) | \(\bf{0{,}01}\) | \(\bf{0{,}01}\) | \(0{,}02\) |
| \(\bf{0{,}96}\) | \(0{,}04\) | \(1\) |
