Bei Flugzeugen eines anderen Typs Y liegt ein Mangel der Klimaanlage mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % vor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, beträgt 5 %. Wenn mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, so funktioniert mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % die Beleuchtung nicht einwandfrei. Stellen Sie zu der für Flugzeuge des Typs Y beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

Analyse der Angabe:

 

"... liegt ein Mangel der Klimaanlage mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % vor."

\[\Longrightarrow \quad P(\overline{K}) = 0{,}04\]

 

"Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, beträgt 5 %."

\[\Longrightarrow \quad P(\overline{K} \cup \overline{B}) = P(\overline{K \cap B}) = 0{,}05\]

\[\Longrightarrow \quad P(K \cap B) = 1 - P(\overline{K} \cup \overline{B}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\]

 

  \(K\) \(\overline{K}\)  
\(B\) \(0{,}95\)    
\(\overline{B}\)      
     \(0{,}04\) \(1\)

 

"Wenn mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, so funktioniert mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % die Beleuchtung nicht einwandfrei."

\[\Longrightarrow \quad P_{\overline{K} \cup \overline{B}}(\overline{B}) = 0{,}4\]

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.

Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[P_{\overline{K} \cup \overline{B}}(\overline{B}) = \frac{P\left[ (\overline{K} \cup \overline{B}) \cap \overline{B} \right]}{P(\overline{K} \cup \overline{B})} = \frac{P(\overline{B})}{P(\overline{K} \cup \overline{B})}\]

 

\[\Longrightarrow \quad P(\overline{B}) = P_{\overline{K} \cup \overline{B}}(\overline{B}) \cdot P(\overline{K} \cup \overline{B}) = 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}02\]

 

  \(K\) \(\overline{K}\)  
\(B\) \(0{,}95\)  
\(\overline{B}\) \(0{,}02\)
  \(0{,}04\) \(1\)

 

Vierfeldertafel vervollständigen:

 

\[P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98\]

\[P(K) = 1 - P(\overline{K}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\]

 

\[P(B \cap \overline{K}) = P(B) - P(B \cap K) = 0{,}98 - 0{,}95 = 0{,}03\]

\[P(K \cap \overline{B}) = P(K) - P(B \cap K) = 0{,}96 - 0{,}95 = 0{,}01\]

 

\[P(\overline{B} \cap \overline{K}) = P(\overline{B}) - P(\overline{B} \cap K) = 0{,}02 - 0{,}01 = 0{,}01\]

oder

\[P(\overline{B} \cap \overline{K}) = P(\overline{K}) - P(B \cap \overline{K}) = 0{,}04 - 0{,}03 = 0{,}01\]

 

  \(K\) \(\overline{K}\)  
\(B\) \(0{,}95\) \(\bf{0{,}03}\) \(\bf{0{,}98}\)
\(\overline{B}\) \(\bf{0{,}01}\) \(\bf{0{,}01}\) \(0{,}02\)
  \(\bf{0{,}96}\) \(0{,}04\) \(1\)