Der Graph \(G_f\) ist rechtsgekrümmt. Einer der folgenden Terme ist ein Term der zweiten Ableitungsfunktion \(f''\) von \(f\). Beurteilen Sie, ob dies Term I oder Term II ist, ohne einen Term von \(\boldsymbol{f''}\) zu berechnen.
\[\textsf{I}\quad\; f''(x) = \frac{50}{(x^2-10x)\cdot\sqrt{10x-x^2}}\]
\[\textsf{II}\quad f''(x) = \frac{50}{(10x-x^2)\cdot\sqrt{10x-x^2}}\]
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe c
Da \(G_f\) rechtsgekrümmt ist (vgl. Angabe), muss \(\boldsymbol{f''(x) < 0}\) gelten.
Anwendung der Differentialrechnung:
Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen
\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.
\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.
(vgl. Merkhilfe)
Nun kann man entweder für \(x \in \; ]0;10[\) einen Funktionswert \(f''(x)\) berechnen, oder das Vorzeichen von \(f''\) am Funktionsterm dokumentieren.
Bei den Termen I und II ist der Wert des Zählers sowie der Wert der Wurzel im Nenner für \(x \in \; ]0;10[\) stets positiv. Der Faktor \(\textcolor{#cc071e}{(x^2 - 10x)}\) bzw. \(\textcolor{#cc071e}{(10x - x^2)}\) im Nenner bestimmt den Vorzeichenwechsel (VZW) von \(f''\).
\[\textsf{I}\quad\; f''(x) = \frac{50}{\textcolor{#cc071e}{\underbrace{(x^2-10x)}_{\text{VZW}}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{\sqrt{10x-x^2}}_{>\,0}}}\]
\[\textsf{II}\quad f''(x) = \frac{50}{\textcolor{#cc071e}{\underbrace{(10x-x^2)}_{\text{VZW}}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{\sqrt{10x-x^2}}_{>\,0}}}\]
Es genügt, einen der beiden Terme I oder II zu betrachten und ggf. nach dem Auschlussprinzip zu begründen, welcher ein Term der zweiten Ableitungsfunktion \(f''\) von \(f\) ist.
Betrachtung von Term I
Beispielsweise gilt für \(x = 1\):
\[\textsf{I}\quad \;f''(1) = \frac{50}{(1^2 - 10 \cdot 1) \cdot \sqrt{10 \cdot 1 - 1^2}} = \frac{50}{(-9) \cdot 3} = -\frac{50}{27} < 0\]
bzw.
\[\textsf{I}\quad\; f''(1) = \frac{50}{\textcolor{#cc071e}{\underbrace{(1^2-10 \cdot 1)}_{\Large{< \,0}}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{\sqrt{10x-x^2}}_{>\,0}}} \textcolor{#cc071e}{< 0}\]
Also ist Term I ein Term der zweiten Ableitungsfunktion \(f''\) von \(f\).
Betrachtung von Term II
Beispielsweise gilt für \(x = 1\):
\[\textsf{II}\quad \;f''(1) = \frac{50}{(10 \cdot 1 - 1^2) \cdot \sqrt{10 \cdot 1 - 1^2}} = \frac{50}{9 \cdot 3} = \frac{50}{27} > 0\]
bzw.
\[\textsf{II}\quad f''(1) = \frac{50}{\textcolor{#cc071e}{\underbrace{(10 \cdot 1-1^2)}_{\Large{> \,0}}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{\sqrt{10x-x^2}}_{>\,0}}} \textcolor{#cc071e}{> 0}\]
Somit kommt Term II nicht in Frage. Nach dem Ausschlussprinzip ist Term I ein Term der zweiten Ableitungsfunktion \(f''\) von \(f\).
