Von den 30 Senioren im Publikum besitzen 24 ein Mobiltelefon. Im Verlauf der Sendung werden drei der Senioren aus dem Publikum zufällig ausgewählt und nach ihrer Meinung befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei Senioren ein Mobiltelefon besitzen.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
Im Unterschied zu Teilaufgabe 2a kann die Wahrscheinlichkeit, einen Senior auszuwählen, der ein Mobiltelefon besitzt, nicht als konstant betrachtet werden. Dafür ist die Anzahl der Senioren im Publikum (30 Senioren) im Verhältnis zum Umfang der Stichprobe (drei Senioren) zu gering. Jeder der drei zufällig ausgewählten Senioren wird einmal befragt (ohne Wiederholung bzw. Zurücklegen). Dadurch verändert sich die Wahrscheinlichkeit, einen Senior auszuwählen, der ein Mobiltelefon besitzt.
Die Reihenfolge der drei befragten Senioren spielt für das betrachtete Ereignis „Genau zwei der drei Senioren besitzen ein Mobiltelefon." keine Rolle.
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
Es gibt \(\displaystyle \binom{30}{3}\) Möglichkeiten, drei Senioren aus den 30 im Publikum sitzenden Senioren auszuwählen (ohne Beachtung der Reihenfolge).
Es gibt \(\displaystyle \binom{24}{2}\) Möglichkeiten, zwei Senioren aus den 24 im Publikum sitzenden Senioren, die ein Mobiltelefon besitzen, auszuwählen (ohne Beachtung der Reihenfolge).
Es gibt \(\displaystyle \binom{6}{1}\) Möglichkeiten, einen Senior von den sechs im Publikum sitzenden Senioren, die kein Mobiltelefon besitzen, auszuwählen.
Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"
Werden aus einer Urne mit \(N\) Kugeln, von denen \(K\) Kugeln schwarz sind, \(n\) Kugeln mit einem Griff, d.h. ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, so gilt für die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\) schwarze Kugeln zu ziehen:
\[P(\text{„genau}\,k\,\text{schwarze Kugeln"}) = \frac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}P(\text{„Zwei Senioren besitzen ein Mobiltelefon."}) &= \frac{\binom{24}{2} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{30}{3}} \\[0.8em] &\approx 0{,}4079 \\[0.8em] &= 40{,}79\,\%\end{align*}\]
