Der Graph \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto ax^4 + bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\,(0|0)\) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
\(W\,(1|-1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_{f}\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Werte von \(a\) und \(b\).
(Ergebnis: \(a = 1, b = -2\))
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Funktionsterm bestimmen
\[f(x) = ax^{4} + bx^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\,; \enspace a, b \in \mathbb R\]
\(O\,(0|0)\) ist Terrassenpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Tangente) von \(G_{f}\)
\(W (1|-1)\) ist Wendepunkt von \(G_{f}\)
Bedingungen formulieren:
Um die Werte der Koeffizienten \(a\) und \(b\) bestimmen zu können sind zwei Bedingungen erforderlich, aus denen sich jeweils eine Gleichung für \(a\) und \(b\) formulieren lässt.
Die erste Bedingung ergibt sich aus: \(W (1|-1) \in G_{f}\).
\[\Longrightarrow \quad f(1) = -1\]
Die zweite Bedingung liefert die Eigenschaft „\(W (1|-1)\) ist Wendepunkt von \(G_{f}\)".
Anwendung der Differetialrechnung:
Wendepunkt
Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Alternative:
Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.
\[\Longrightarrow \quad f''(1) = 0\]
Zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) bilden:
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} f(x) = ax^{4} + bx^{3} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= 4ax^{3} + 2bx^{2} \\[0.8em] f''(x) &= 12ax^{2} + 6bx \end{align*}\]
Gleichungen formulieren:
Aus den beiden Bedingungen \(f(1) = -1\) und \(f''(1) = 0 \) werden mit \(f(x) = ax^{4} + bx^{3}\) und \(f''(x) = 12ax^{2} + 6bx\) zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\) formuliert.
\[\begin{align*} f(1) &= -1 \\[0.8em] a \cdot 1^{4} + b \cdot 1^{3} &= -1 \\[0.8em] a + b &= -1 \\[3.3em] f''(1) &= 0 \\[0.8em] 12a \cdot 1^{2} + 6b \cdot 1 &= 0 \\[0.8em]12a + 6b &= 0 \end{align*}\]
Damit liegen zwei lineare Gleichungen für die zu bestimmenden Werte von \(a\) und \(b\) vor.
Lineares Gleichungssystem formulieren:
\[\begin{align*} \text{I}& & a + b &= -1 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace 12a + 6b &= 0 \end{align*}\]
Gleichungssystem lösen, beispielsweise mit dem Additionsverfahren (bzw. Subtraktion):
\[\begin{align*} \text{I}& & a + b &= -1 & &| \cdot 6 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace 12a + 6b &= 0 \\[3.2em] \text{I}& & 6a + 6b &= -6 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace 12a + 6b &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*} \text{II}\; - \; \text{I}\;\colon \enspace 6a &= 6 & &| : 6 \\[0.8em] a &= 1\end{align*}\]
\[\begin{align*} a = 1 \;\text{in I}\;\colon \enspace 1 + b &= -1 & &| -1 \\[0.8em] b &= -2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad f(x) = x^{4} - 2x^{3}\]
