Wendepunkt

Gegeben ist die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \left( \ln{x} \right)^2\). Der Graph von \(f\) verläuft durch den Punkt \(P(e|1)\).

1. Die zweite Ableitungsfunktion von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = e\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für den Graphen von \(f\) an.
   (1 BE)
2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P\).
   (4 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).

 

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:

a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\)

b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

(zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - (\ln{x})^{2}\). Die Funktion \(F \colon x \mapsto x(\ln{x} - 1)^{2}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f\) (Nachweis nicht erforderlich!).

Bestimmen Sie die untere Grenze \(a \in \mathbb R^{+}\) der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\) so, dass diese mit \(F(x)\) übereinstimmt.

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\).

a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Gerade liegen.

b) Eine Gleichung der Gerade \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\). Beschreiben Sie ausgehend von dieser Geradengleichung die Strecke [AB].

 

Aufgabe 5

Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\).

a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden.

b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

Aufgabe 1

Berechnen Sie folgende Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an.

 

 

Aufgabe 2

Geben sie jeweils eine Integrandenfunktion \(f(x)\) und \(g(x)\) an, sodass die folgenden Gleichungen erfüllt sind.

 

Aufgabe 3

Gegeben sind die jeweils in \(\mathbb R\) definierten Funktionenscharen \(f_{a} \colon x \mapsto x(a^{2} - x^{2})\) und \(g_{a} \colon x \mapsto x(x - a)^{2}\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\).

 

a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters \(a\) den Flächeninhalt \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen.

b) Für welchen Wert des Parameters \(a\) ergibt sich der Flächeninhalt 13,5 FE (Flächeneinheiten)?

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).

 

Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.

 

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).

 

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).

 

Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

(zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) einer in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\). Nur in den Punkten \((-4|f'(-4))\) und \((5|f'(5))\) hat der Graph \(G_{f'}\) waagrechte Tangenten.

Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Wendestelle besitzt. 

(2 BE)

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \([0{,}8; +\infty[\) definierten Funktion f.

Betrachtet wird zudem die in \([0{,}8; +\infty[\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt\).

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass \(J(1) \approx -1\) gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert \(J(4{,}5)\) an. Skizzieren Sie den Graphen von \(J\) in der Abbildung 2.

(5 BE)

Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE) 

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{k}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(k'\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen \(G_{k}\) an dessen Wendepunkt \((0|-3)\) sowie die Nullstelle von \(k'\).

Abb. 2

(4 BE)

Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

Der Punkt \((2|0)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von \(g\).

(2 BE)

Begründen Sie, dass \(2{,}5\) die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts von \(G_{f}\) ist.

(2 BE)

Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c in einem Koordinatensystem für \(0 \leq t \leq 8\) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

(3 BE)

Der Graph \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto ax^4 + bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\,(0|0)\) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

\(W\,(1|-1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_{f}\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Werte von \(a\) und \(b\).

(Ergebnis: \(a = 1, b = -2\))

(4 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) und \(x \in \mathbb R\).

Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

(3 BE)

Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE)