Aufgrund der vielfältigen Aktivitäten der Bürgerinitiative vermutet der Gemeinderat, dass inzwischen mindestens 55 % der Wahlberechtigten der Gemeinde gegen die Einrichtung der Windkraftanlage sind. Um diese Vermutung zu testen, werden 200 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte der Gemeinde befragt. Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung des Gemeinderats mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt werden soll?
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4
Signifikanztest
Zufallsgröße \(G \colon \enspace\) "Anzahl wahlberechtigter Gegner der Windkraftanlage"
Analyse der Angabe:
"... werden 200 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte ... befragt."
\(\Longrightarrow \quad n = 200\)
"... vermutet ... ,dass ... mindestens 55 % ..."
\(\Longrightarrow \quad H_0\): \(p \geq 0{,}55\)
"... mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt ..."
\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\)
Die Irrtumswahrscheinlichkeit, die Vermutung des Gemeinderats abzulehnen, obwohl mindestens 55 % der Wahlberechtigten der Gemeinde gegen die Einrichtung der Windkraftanlage sind, soll höchstens 5 % betragen.
\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}05\)
Linksseitiger Signifikanztest
Einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\)
Ein einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\alpha\) überprüft eine Vermutung, dass eine Wahrscheinlichkeit \(p\) größer bzw. kleiner als eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(p_{0}\) ist. Dabei darf die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens den Wert des Signifikanzniveaus \(\alpha\) erreichen.
Linksseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \geq p \quad H_1 \colon p_1 < p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
Rechtsseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \leq p \quad H_1 \colon p_1 > p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{k + 1; ...; n\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \geq k +1) &\leq \alpha \\[0.8em] 1 - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha & &| - 1 \\[0.8em] - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha - 1 &&| \textcolor{red}{\cdot (-1)} \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\textcolor{red}{\geq} 1 - \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
ST: Stochastisches Tafelwerk
Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \geq 0{,}55\)
Gegenhypothese \(H_1 \colon \enspace p < 0{,}55\)
Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\)
Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{k + 1; ...; 200\}\)
Bedingung für den Fehler 1. Art formulieren:
\[P^{200}_{0{,}55} (G \leq k) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}05\]
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:
\[P^{200}_{0{,}55} (G \leq k) = F^{200}_{0{,}55} (k) = \sum \limits_{i \; = \; 0}^k B(200; 0{,}55; i) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}05\]
\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 97 \quad \left( F^{200}_{0{,}55} (97) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}03810 \right)\]
Entscheidungsregel formulieren:
Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{0; 1; ...; 97\}\)
Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{98; ...; 200\}\)
Die Vermutung des Gemeinderats wird abgelehnt, wenn das Ergebnis der Umfrage höchstens 97 Gegner der Winkraftanlage ausweist.
![B(200;0,55;k), Signifikanztest zum Signifikanzniveau α = 0,05, Nullhypothese: p₀ ≥ 0,55, Ablehnungsbereich = [0;1;...;97], Annahmebereich = [98;...;200]](/images/stories/B2011_G8_S_I/B2011G8_S_I_4.png "Grafik zur Lösung der Teilaufgabe 4 - Stochastik I - Mathematik Abitur Bayern 2011 G8")
