Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

Abb. 2

Graph einer Stammfunktion von \(g\) durch Punkt \(P\)

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Für eine Stammfunktion \(G\) der Funktion \(g\) gilt: \(G'(x) = g(x)\).

Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

Da der Graph von \(g\) bis auf den Tiefpunkt \((0|0)\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist der Graph einer Stammfunktion \(\boldsymbol{G}\) streng monoton steigend.

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Die Skizze sollte berücksichtigen, dass

  • \(G_g\) sich für \(x \to -\infty\) asymptotisch der \(x\)-Achse annähert,
  • \(G_g\) den Hochpunkt \((-1|1)\) und den Tiefpunkt \((0|0)\) besitzt,
  • der Graph einer Stammfunktion \(G\) im Punkt \(P\) eine näherungsweise bestimmbare Steigung hat und
  • \(G_g\) für \(x \to +\infty\) nach \(+\infty\) verläuft.

 

Verlauf des Graphen der Stammfunktion für \(x \to -\infty\)

Verlauf des Graphen einer Stammfunktion G durch Punkt P für x → -∞Abb. 2

Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph von \(g\) asymptotisch der \(x\)-Achse an. Somit gilt \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} g(x) = \textcolor{#e9b509}{\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} G'(x) = 0}\).

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

Der Graph einer Stammfunktion beginnt daher horizontal. Da \(G_G\) streng monoton steigend ist und durch \(P\) verlaufen soll, wird die Skizze links und unterhalb von \(P\) begonnen.

 

Verlauf des Graphen der Stammfunktion an den Extremstellen von \(G_g\)

Die Extremstellen des Graphen von g sind Wendestellen des Graphen einer Stammfunktion von gAbb. 2

In den Extrempunkten bei \(x = -1\) und \(x = 0\) hat der Graph von \(g\) jeweils eine waagrechte Tangente und wechselt das Monotonieverhalten.

Somit gilt \(g'(-1) = \textcolor{#e9b509}{G''(-1) = 0}\) bzw. \(g'(0) = \textcolor{#e9b509}{G''(0) = 0}\) und \(g'(x) = \textcolor{#e9b509}{G''(x)}\) wechselt das Vorzeichen von \(\textcolor{#0087c1}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{–}\) bzw. von \(\textcolor{#cc071e}{–}\) nach \(\textcolor{#0087c1}{+}\).

Folglich sind die Extremstellen von \(g\) die Wendestellen einer Stammfunktion von \(g\).

Wendepunkt

Anwendung der Differetialrechnung:

Wendepunkt

Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.

(vgl. Merkhilfe)

Alternative:

Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.

An der Stelle \(x = -1\) des Hochpunkts von \(g\) erreicht die Steigung des Graphen der Stammfunktion mit \(g(-1) = \textcolor{#e9b509}{G'(-1) = 1}\) ein lokales Maximum.

An der Stelle \(x = 0\) des Tiefpunkts von \(g\) hat der Graph der Stammfunktion mit \(g(0) = \textcolor{#e9b509}{G'(0) = 0}\) eine waagrechte Wendetangente und deshalb einen Terrassenpunkt.

Terrassenpunkt

Anwendung der Differetialrechnung:

Terrassenpunkt

Wenn \(f'(x_0) = f''(x_0) = 0\) ist und \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen wechselt, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Terrassenpunkt.

Verlauf des Graphen der Stammfunktion im Punkt \(P\)

Im Punkt P hat der Graph der Stammfunktion von g in etwa die Steigung ⅓.Abb. 2

Näherungsweise gilt \(g(1) = \textcolor{#e9b509}{G'(1)} \approx \dfrac{1}{3}\). Also hat der Graph der Stammfunktion im Punkt P etwa die Steigung \(\textcolor{#e9b509}{\dfrac{1}{3}}\).

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

Verlauf des Graphen der Stammfunktion für \(x \to +\infty\)

Verlauf des Graphen der Stammfunktion von g durch P für x → +∞Abb. 2

MIt \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} g(x) = \textcolor{#e9b509}{\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} G'(x)} = +\infty\) wächst die Steigung des Graphen der Stammfunktion für \(x \to +\infty\) nach \(+\infty\) und der Graph der Stammfunktion verläuft somit nach \(\textcolor{#e9b509}{+\infty}\).

 

Abschließend ergibt sich folgende Skizze:

Graph einer Stammfunktion von g durch Punkt PAbb. 2

Graph einer Stammfunktion von \(g\) durch Punkt \(P\)