Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Seitenfläche $ABCD$ gegen die $x_1{x}_2$-Ebene geneigt ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

Der Winkel, unter dem die Seitenfläche $ABCD$ gegen die $x_1{x}_2$-Ebene geneigt ist, entspricht dem Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Ebene $E$ und der $x_1{x}_2$-Ebene.

$x_1{x}_2\text{-Ebene}:x_3=0;{\overrightarrow{n}}_{x_1{x}_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$$E:3x_1+4x_3-84=0;{\overrightarrow{n}}_E=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$$

$$\begin{array}{rl}\cos \alpha & =\frac{|{\overrightarrow{n}}_E\circ {\overrightarrow{n}}_{x_1{x}_2}|}{|{\overrightarrow{n}}_E|\cdot |{\overrightarrow{n}}_{x_1{x}_2}|}\\ & =\frac{|\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)|}{\left|\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right|}\\ & =\frac{3\cdot 0+0\cdot 0+4\cdot 1}{\sqrt{3^2+0^2+4^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}\\ & =\frac{4}{5}& & |{\cos }^{-1}(\dots )\\ \alpha & =36,9^{\circ }\end{array}$$

Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Ebene $E$ und der $x_1{x}_2$-Ebene