Gegeben ist die Funktion \(h\) mit
\[h \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} -2^{-x+1}+3 \enspace \text{für} \enspace x &\leq 2 \\[0.8em] \sin{(x-1)+0{,}5} \enspace \text{für} \enspace x &>2\end{align*} \end{cases}\]
auf ihrem maximalen Definitionsbereich \(D_h = \mathbb R\).
Untersuchen Sie die Funktion \(h\) auf Stetigkeit.
\[h \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} -2^{-x+1}+3 \enspace \text{für} \enspace x &\leq \textcolor{#cc071e}{2} \\[0.8em] \sin{(x-1)+0{,}5} \enspace \text{für} \enspace x &>\textcolor{#cc071e}{2}\end{align*} \end{cases}, \; D_h = \mathbb R\]
Stetigkeit von Funktionen
Eine Funktion \(f\) ist auf einem Intervall \(I\) stetig, wenn für jede Stelle \(x_0\) des Intervalls gilt, dass der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0\) mit dem Funktionswert von \(f\) an der Stelle \(x_0\) übereinstimmen.
\[\lim \limits_{\underset{x\,<\,x_0}{x\,\to\,x_0}}f(x) = \lim \limits_{\underset{x\,>\,x_0}{x\,\to\,x_0}}f(x) = f(x_0)\]
Geometrische Interpretation
Ist eine Funktion \(f\) auf einem Intervall definiert und kann ihr Graph auf diesem Intervall ohne abzusetzen durchgezeichnet werden, so ist \(f\) auf dem Intervall stetig.
Die abschnittsweise definierte Funktion \(h\) ist stetig, wenn die Graphen der Terme \(-2^{-x+1}+3\) und \(\sin{(x-1)+0{,}5}\) an der „Nahtstelle" \(\textcolor{#cc071e}{x = 2}\) ohne abzusetzen durchgezeichnet werden können (graphische Interpretation der Stetigkeit).
Für eine rechnerische Untersuchung der Stetigkeit von \(h\), kann überprüft werden, ob die Terme \(-2^{-x+1}+3\) und \(\sin{(x-1)+0{,}5}\) für \(\textcolor{#cc071e}{x = 2}\) den gleichen Wert haben, so als wäre \(\sin{(x-1)+0{,}5}\) für \(\textcolor{#cc071e}{x = 2}\) definiert.
Diese Methode ist formal nicht ganz korrekt, aber lehrplankonform.
\[\left. \begin{align*} -2^{-\textcolor{#cc071e}{2} + 1} + 3 = -2^{-1} + 3 = -\frac{1}{2} + 3 &= 2{,}5 \\[0.8em] \sin{(\textcolor{#cc071e}{2}-1)} +0{,}5 = \sin{1} + 0{,}5 &\approx 1{,}34\end{align*} \right\} \Rightarrow \; \textcolor{#cc071e}{\text{Sprungstelle}\,x = 2}\]
ergänzende Skizze
Somit ist die Funktion \(h\) auf ihrem maximalen Definitionsbereich \(D_h = \mathbb R\) nicht stetig.
Anmerkung
Für eine formal korrekte Überprüfung der Stetigkeit der Funktion \(h\) an der Stelle \(\textcolor{#cc071e}{x = 2}\) wird untersucht, ob der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(\textcolor{#cc071e}{x = 2}\) mit dem Funktionswert von \(h\) an der Stelle \(\textcolor{#cc071e}{x = 2}\) übereinstimmt.
Das heißt, \(h\) ist an der Stelle \(\textcolor{#cc071e}{x = 2}\) stetig, wenn \(\lim \limits_{\underset{x\,<\,\textcolor{#cc071e}{2}}{x\,\to\,\textcolor{#cc071e}{2}}}h(x) = \lim \limits_{\underset{x\,>\,\textcolor{#cc071e}{2}}{x\,\to\,\textcolor{#cc071e}{2}}}h(x) = h(\textcolor{#cc071e}{2})\) gilt.
\[\lim \limits_{\underset{x\,<\,\textcolor{#cc071e}{2}}{x\,\to\,\textcolor{#cc071e}{2}}}\big(\underbrace{-2^{-x+1}}_{\to\,-0{,}5} +3 \big) = 2{,}5\]
\[\lim \limits_{\underset{x\,>\,\textcolor{#cc071e}{2}}{x\,\to\,\textcolor{#cc071e}{2}}} \big( \underbrace{\sin{(x-1)}}_{\to\,\sin{1}} +0{,}5 \big) = \sin{1} +0{,}5 \approx 1{,}34\]
\[h(\textcolor{#cc071e}{2}) = -2^{-\textcolor{#cc071e}{2} + 1} + 3 = 2{,}5\]
Da der rechtsseitige Grenzwert nicht mit dem linksseitigen Grenzwert und dem Funktionswert von \(h\) an der Stelle \(x = 2\) übereinstimmt, ist die Funktion \(h\) an der Stelle \(x = 2\) nicht stetig.
