Das Parkhaus ist nun mit 100 Autos besetzt, von denen 40 mit ESP ausgerüstet sind.

Sieben von diesen 100 Autos sind Kleinwagen und nicht mit ESP ausgerüstet, 90 sind keine Kleinwagen. Betrachtet werden folgende Ereignisse.

\(E\): „Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet."

\(K\): „Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen."

Geben Sie die Bedeutung von \(P_{K}(E)\) im Sachzusammenhang an und ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit: Bedeutung im Sachzusammenhang und Berechnung

 

Bedeutung von \(P_{K}(E)\) im Sachzusammenhang

 

\(E\): „Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet."

\(K\): „Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen."

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.

Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)

(vgl. Merkhilfe)

\(P_{K}(E)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein im Parkhaus zufällig ausgewählter Kleinwagen mit ESP ausgerüstet ist.

 

Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P_{K}(E)\)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.

Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[P_{K}(E) = \frac{P(K \cap E)}{P(K)}\]

 

Gegeben sind die Anzahlen des Ereignisses \(\overline{K}\), der Schnittmenge \(K \cap \overline{E}\) und des Ergebnisraums \(\Omega\) (vgl. Angabe):

 

\(\vert \overline{K} \vert = 90\)

\(\vert K \cap \overline{E} \vert = 7\)

\(\vert \Omega \vert = 100\)

 

Veranschaulichung mithilfe einer Vierfeldertafel:

 

  \(E\) \(\overline{E}\)  
\(K\)    \(7\)  
\(\overline{K}\)      \(90\)
      \(100\)

Vierfeldertafel der Anzahlen

 

Wahrscheinlichkeiten \(P(K)\) und \(P(K \cap E)\) ermitteln:

 

\[P(K) = 1 - P(\overline{K}) = 1 - \frac{\vert \overline{K} \vert}{\vert \Omega \vert} = 1 - \frac{90}{100} = 1 - 0{,}9 = 0{,}1\]

 

\[\begin{align*} P(K \cap E) + P(K \cap \overline{E}) &= P(K) & &| - P(K \cap \overline{E}) \\[0.8em] P(K \cap E) &= P(K) - P(K \cap \overline{E}) \\[0.8em] &= P(K) - \frac{\vert K \cap \overline{E} \vert}{\vert \Omega \vert} \\[0.8em] &= 0{,}1 - \frac{7}{100} \\[0.8em] &= 0{,}1 - 0{,}07 \\[0.8em] &= 0{,}03  \end{align*}\]

 

Veranschaulichung mithilfe einer Vierfeldertafel:

 

  \(E\) \(\overline{E}\)  
\(K\) \(\boldsymbol{0{,}03}\) \(0{,}07\) \(\boldsymbol{0{,}1}\)
\(\overline{K}\)     \(0{,}9\)
      \(1\)

Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{K}(E)\) berechnen: 

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.

Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}P_{K}(E) &= \frac{P(K \cap E)}{P(K)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}03}{0{,}1} \\[0.8em] &= 0{,}3 \end{align*}\]