Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\)
b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\)
a) Erste Ableitung der Funktion \(f(x)\)
\[f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\]
Die Funktion \(f\) wird unter Anwendung der Produkt-, der Quotienten- und der Kettenregel, der Ableitung einer Wurzelfunktion und einer Potenzfunktion sowie der Summen und der Faktorregel abgeleitet.
Als Alternative formuliert man den Funktionsterm \(f_{k}(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}; \;a \in \mathbb R^{+},\; m \in \mathbb Z, \; n \in \mathbb N\) vorab in der Potenzschreibweise.
\[f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 2} = (3x + 2) \cdot \left( x^{-1} + 2 \right)^{\frac{1}{2}}\]
1. Möglichkeit (ohne Formulierung in der Potenzschreibweise)
\[f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 2}\]
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung einer Wurzelfunktion
\[f(x) = \sqrt{g(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} \quad (g(x) \geq 0)\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
\[u(x) = 3x + 2; \; u'(x) = 3 + 0 = 3\]
\[\begin{align*}v(x) = \sqrt{\frac{1}{x} + 2}; \; v'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{x} +2}} \cdot \left( \frac{1}{x} + 2 \right)' \\[0.8em] &= \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{x} +2}} \cdot \left[ \left( \frac{1}{x} \right)' + 0 \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{x} +2}} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)' \end{align*}\]
Ableitung von \(\frac{1}{x}\) mit der Quotientenregel:
\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]
\[u(x) = 1; \; u'(x) = 0\]
\[v(x) = x; \; v'(x) = 1\]
\[\left( \frac{1}{x} \right)' = \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}} = -\frac{1}{x^{2}}\]
Ableitung von \(f(x)\):
\[f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 2}\]
\[\begin{align*}f'(x) &= 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 2} + (3x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \cdot \left( -\frac{1}{x^{2}} \right) \\[0.8em] &= 3\sqrt{\frac{1}{x} + 2} - \frac{3x + 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \\[0.8em] &= \frac{3\sqrt{\frac{1}{x} + 2} \cdot 2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} - \frac{3x + 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \\[0.8em] &= \frac{6x^{2} \cdot \left( \frac{1}{x} + 2 \right) - 3x - 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \\[0.8em] &= \frac{6x + 12x^{2} - 3x - 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \\[0.8em] &= \frac{12x^{2} + 3x - 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \end{align*}\]
2. Möglichkeit (mit Formulierung in der Potenzschreibweise)
\[f(x) = (3x + 2) \cdot \left( x^{-1} + 2 \right)^{\frac{1}{2}}\]
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
\[u(x) = 3x + 2; \; u'(x) = 3 + 0 = 3\]
\[\begin{align*}v(x) = \left( x^{-1} + 2 \right)^{\frac{1}{2}}; \; v'(x) &= \frac{1}{2} \cdot \left( x^{-1} + 2 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x^{-1} + 2)' \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( x^{-1} + 2 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot [(-1) \cdot x^{-2} + 0] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( x^{-1} + 2 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( -x^{-2} \right) \end{align*}\]
\[\begin{align*}f'(x) &= 3 \cdot \left(x^{-1} + 2 \right)^{\frac{1}{2}} + (3x + 2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(x^{-1} + 2 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( -x^{-2}\right) & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{x} + 2} + (3x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \cdot \left( -\frac{1}{x^{2}} \right) \\[0.8em] &= 3\sqrt{\frac{1}{x} + 2} - \frac{3x + 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \\[0.8em] &= \frac{3\sqrt{\frac{1}{x} + 2} \cdot 2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} - \frac{3x + 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \\[0.8em] &= \frac{6x^{2} \cdot \left( \frac{1}{x} + 2 \right) - 3x - 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \\[0.8em] &= \frac{6x + 12x^{2} - 3x - 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \\[0.8em] &= \frac{12x^{2} + 3x - 2}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \end{align*}\]
b) Erste Ableitung der Funktion \(g(x)\)
\(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\)
Die Funktion \(g\) lässt sich mithilfe der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, der Kettenregel, der Quotientenregel, der Ableitung der Kosinusfunktion und der Ableitung einer Potenzfunktion ableiten.
{snippet A099}
\[g'(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}} \cdot \left( \frac{\cos{x}}{x} \right)'\]
Ableitung von \(\frac{\cos{x}}{x}\) mit der Quotientenregel:
\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]
\[u(x) = \cos{x}; \; u'(x) = -\sin{x}\]
\[v(x) = x; \; v'(x) = 1\]
\[\left( \frac{\cos{x}}{x}\right)' = \frac{(-\sin{x}) \cdot x - \cos{x} \cdot 1}{x^{2}}\]
\[\begin{align*} g'(x) &= e^{\frac{\cos{x}}{x}} \cdot \left( \frac{\cos{x}}{x} \right)' \\[0.8em] &= e^{\frac{\cos{x}}{x}} \cdot \frac{(-\sin{x}) \cdot x - \cos{x} \cdot 1}{x^{2}} \\[0.8em] &= -\frac{e^{\frac{\cos{x}}{x}} \cdot (x\sin{x} + \cos{x})}{x^{2}} \end{align*}\]
