Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\).
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\).
\[f(x) = 2x^{2} \cdot \sin{x}\]
\[P\Big(\textstyle\frac{\pi}{2}\Big|f\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big)\]
Der Ansatz für die Gleichung der Tangente \(T\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) (im Punkt \(P\Big(\textstyle\frac{\pi}{2}\Big|f\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big)\)) kann mit der allgemeinen Geradengleichung oder mit der Tangentengleichung erfolgen.
1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T \colon y = m_{T} \cdot x + t\]
Die erste Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P\Big(\textstyle\frac{\pi}{2}\Big|f\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big)\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_{T} = f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big)\]
Erste Ableitung \(f'\) bilden:
Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird unter Anwendung der Produktregel, der Ableitung einer Potenzfunktion, der Ableitung der Sinusfunktion und mithilfe der Faktorregel gebildet.
\[f(x) = 2x^{2} \cdot \sin{x}\]
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Ableitung der Sinusfunktion
\[ f(x) = \sin x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \cos x\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[ f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}f'(x) &= 2 \cdot 2x \cdot \sin{x} + 2x^{2} \cdot \cos{x} \\[0.8em] &= 4x \sin{x} + 2x^{2} \cos{x} \end{align*}\]
Tangentensteigung \(m_{T}\) berechnen:
\[\begin{align*}m_{T} &= f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2}\Big) \\[0.8em] &= 4 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{2}\right) + 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2} \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) \\[0.8em] &= 2\pi \cdot 1 + \frac{\pi^{2}}{2} \cdot 0 \\[0.8em] &= 2\pi \end{align*}\]
Damit ergibt sich die Gleichung der Tangente \(T\) zu:
\[T \colon y = 2\pi x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) bestimmen:
Die Tangente \(T\) berührt den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P\Big(\textstyle\frac{\pi}{2}\Big|f\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big)\; (P \in T)\). Setzt man die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Gleichung der Tangente \(T\) ein, lässt sich damit der \(y\)-Achsenabschnit \(t\) bestimmen. Vorab ist noch der Funktionswert \(f\Big(\textstyle \frac{\pi}{2} \Big)\) zu berechnen.
\[f(x) = 2x^{2} \cdot \sin{x}\]
\[f\Big( \textstyle \frac{\pi}{2}\Big) = \displaystyle 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2} \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi^{2}}{2}\]
\[\Longrightarrow \quad P\Big(\textstyle \frac{\pi}{2} \Big| \textstyle \frac{\pi^{2}}{2} \Big)\]
\[\begin{align*} P \in T \colon \frac{\pi^{2}}{2} &= 2\pi \cdot \frac{\pi}{2} + t \\[0.8em] \frac{\pi^{2}}{2} &= \pi^{2} + t & &| - \pi^{2} \\[0.8em] -\frac{\pi^{2}}{2} &= t \end{align*}\]
Gleichung der Tangente \(T\) angeben:
\[T \colon y = 2\pi x - \frac{\pi^{2}}{2}\]
2. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[P\Big(\textstyle \frac{\pi}{2} \Big| \textstyle \frac{\pi^{2}}{2} \Big)\]
\[T \colon y = f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big) \cdot \displaystyle \left(x - \frac{\pi}{2} \right) + f\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big)\]
Mit \(f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big) = 2\pi\) und \(f\Big( \textstyle \frac{\pi}{2}\Big) = \frac{\pi^{2}}{2}\) (vgl. 1. Lösungsansatz) folgt:
\[\begin{align*}T \colon y &= f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big) \cdot \displaystyle \left(x - \frac{\pi}{2} \right) + f\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big) \\[0.8em] &= 2\pi \cdot \left(x - \frac{\pi}{2} \right) + \frac{\pi^{2}}{2} \\[0.8em] &= 2\pi x - \pi^{2} + \frac{\pi^{2}}{2} \\[0.8em] &= 2\pi x - \frac{\pi^{2}}{2}\end{align*}\]
