Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R\) ist eine Gerade \(g_{a}\) gegeben durch \(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ a - 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten des Punkts, in dem \(g_{a}\) die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene schneidet.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ a - 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\) mit \(a \in \mathbb R\)
Die \(x_{3}\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S_{x_{1}x_{2}}\) einer Geraden \(g_{a}\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene ist gleich Null: \(x_{3} = 0\).
Die \(x_{3}\)-Koordiante des Ortsvektors \(\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}\) der Gleichung einer Geraden \(g_{a}\) muss also gleich Null sein.
\[\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \textcolor{#cc071e}{0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ a - 4 \\ \textcolor{#cc071e}{4} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ \textcolor{#cc071e}{1} \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad 0 = 4 + \lambda \cdot 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \lambda = -4\]
Mit \(\lambda = -4\) ergeben sich die Koordinaten des Schnittpunkts \(S_{x_{1}x_{2}}\) in Abhängigkeit von \(a\) zu:
\[S_{x_{1}x_{2}} \in g_{a} \colon \overrightarrow{S_{x_{1}x_{2}}} = \begin{pmatrix} 2 \\ a - 4 \\ 4 \end{pmatrix} + (-4) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ a + 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}x_{2}}(-6|a + 4|0)\]
