Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\displaystyle \sum \limits_{k\,=\,0}^{25}\binom{200}{k} \cdot 0{,}1^k \cdot (1 - 0{,}1)^{200 - k}\) berechnet werden kann.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Mögliche Formulierungen:
„Unter den 200 zufällig ausgewählten Fahrzeugen sind höchstens 25 Pkw ohne Elektromotor (Verbrenner)."
oder
„Von den ausgewählten Pkw besitzen höchstens 25 keinen Elektromotor."
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
\[\sum \limits_{\textcolor{#e9b509}{k\,=\,0}}^{\textcolor{#e9b509}{25}}\binom{200}{\textcolor{#e9b509}{k}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1}^\textcolor{#e9b509}{k} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}1})^{200 - \textcolor{#e9b509}{k}}\]
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.
Der Term \(\displaystyle \binom{200}{\textcolor{#e9b509}{k}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1}^\textcolor{#e9b509}{k} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}1})^{200 - \textcolor{#e9b509}{k}}\) errechnet im Falle der vorliegenden Bernoulli-Kette der Länge \(n = 200\) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein betrachtetes Ereignis genau \(k\)-mal eintritt.
Welches Ereignis betrachtet wird, darüber gibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}1}\) Auskunft.
Ein Blick in die Tabelle zeigt, dass diese dem Anteil der „Pkw ohne Elektromotor (insgesamt)" entspricht (3 % Benzin + 4 % Diesel + 3 % Sonstige = 10 %).
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
Den Grenzen des Summenzeichens \(\displaystyle \sum \limits_{\textcolor{#e9b509}{k\,=\,0}}^{\textcolor{#e9b509}{25}}\) ist zu entnehmen, dass die Einzelwahrscheinlichkeiten \(\displaystyle \binom{200}{\textcolor{#e9b509}{k}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1}^\textcolor{#e9b509}{k} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}1})^{200 - \textcolor{#e9b509}{k}}\) von \(\textcolor{#e9b509}{k = 0}\) bis \(\textcolor{#e9b509}{k = 25}\) aufsummiert werden. Das heißt, es werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse „0 Pkw ohne Elektromotor", 1 Pkw ohne Elektromotor", „2 Pkw ohne Elektromotor" bis „25 Pkw ohne Elektromotor" addiert. Diese Ergebnisse gehören zu dem Ereignis „höchstens 25 Pkw ohne Elektromotor".
Die Summe \(\displaystyle \sum \limits_{\textcolor{#e9b509}{k\,=\,0}}^{\textcolor{#e9b509}{25}}\binom{200}{\textcolor{#e9b509}{k}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1}^\textcolor{#e9b509}{k} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}1})^{200 - \textcolor{#e9b509}{k}}\) berechnet also die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „höchstens 25 Pkw ohne Elektromotor".
Mögliche Formulierungen sind daher beispielsweise:
„Unter den 200 zufällig ausgewählten Fahrzeugen sind höchstens 25 Pkw ohne Elektromotor (Verbrenner)."
oder
„Von den ausgewählten Pkw besitzen höchstens 25 keinen Elektromotor."
