Abiturlösungen Mathematik Bayern 2018

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) genau einen Wendepunkt \(W\) besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).

(zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate von \(W\): \(e\))

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Nachweis des Wendepunkts \(W\)

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt von \(G_{f}\) lautet:

Wendepunkt

Anwendung der Differetialrechnung:

Wendepunkt

Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.

(vgl. Merkhilfe)

Alternative:

Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.

\[f''(x) = 0\]

 

Zweite Ableitung \(f''\) bilden

Die zweite Ableitung \(f''\) kann mithilfe der Quotientenregel gebildet werden.

 

\[f'(x) = \frac{4}{x} \cdot \ln{x} = 4 \cdot \frac{\textcolor{#0087c1}{\ln{x}}}{\textcolor{#cc071e}{x}}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen
Ableitungsregeln

Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[\begin{align*} f''(x) &= 4 \cdot \left( \frac{\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{x}} \cdot \textcolor{#cc071e}{x} - \textcolor{#0087c1}{\ln{x}} \cdot \textcolor{#cc071e}{1}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2}}} \right) \\[0.8em] &= 4 \cdot \left( \frac{1 - \ln{x}}{x^{2}} \right) \\[0.8em] &= \frac{4}{x^{2}} \cdot (1 - \ln{x}) \end{align*}\]

 

Nullstelle von \(f''(x)\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} f''(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{4}{x^{2}} \cdot (1 - \ln{x}) &= 0 &&| \cdot x^{2} \\[0.8em] 4 \cdot(1 - \ln{x}) &= 0 &&| : 4 \\[0.8em] 1 - \ln{x} &= 0 &&| + \ln{x} \\[0.8em] 1 &= \ln{x} &&| \; e^{(\dots)} \\[0.8em] e^{1} &= e^{\ln{x}} &&| \; e^{\ln{x}} = x \\[0.8em] e &= x \end{align*}\]

 

Alternative: Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

 

\[\begin{align*} f''(x) &= 0 \\[0.8em] \underbrace{\frac{4}{x^{2}}}_{\Large{\neq\,0}} \cdot (1 - \ln{x}) &= 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad 1 - \ln{x} &= 0 &&| + \ln{x} \\[0.8em] 1 &= \ln{x} &&| \; e^{(\dots)} \\[0.8em] e^{1} &= e^{\ln{x}} &&| \; e^{\ln{x}} = x \\[0.8em] e &= x \end{align*}\]

 

\(x = e\) ist einzige mögliche Wendestelle.

Nun ist noch der Vorzeichenwechsel von \(f''(x)\) an der Stelle \(x = e\) nachzuweisen, Hierfür eignet sich eine Krümmungstabelle. Als Aternative kann mithilfe der dritten Ableitung \(f'''\) nachgewiesen werden, dass \(f'''(e) \neq 0\) gilt.

Wendepunkt

Anwendung der Differetialrechnung:

Wendepunkt

Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.

(vgl. Merkhilfe)

Alternative:

Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.

1. Möglichkeit: Krümmungstabelle

 

\(f''(x) = \underbrace{\dfrac{4}{x^{2}}}_{\Large{>\,0}} \cdot (1 - \ln{x})\) mit \(x \in \mathbb R^{+}\)

 

Der Faktor \((1 - \ln{x})\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f''(x)\) an der Stelle \(x = e\).

Punkt (e|1) des Graphen der Natürlichen Logarithmusfunktion

Für \(0 < x < e\) gilt \(\ln{x} < 1\) und für \(x > e\) gilt \(\ln{x} > 1\).

Krümmungsverhalten

Anwendung der Differentialrechnung:

Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen

\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.

\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.

(vgl. Merkhilfe)

\(x\) \(0 < x < e\) \(e\) \(x > e\)
\(\dfrac{4}{x^{2}}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((1 - \ln{x})\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(f''(x)\) \(\textcolor{#0087c1}{\Large{+}}\) \(0\) \(\textcolor{#cc071e}{\Large{-}}\)
\(G_{f}\) \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \textcolor{#0087c1}{\curvearrowleft}}\) \(W(e|0)\) \(\Large \textcolor{#cc071e}{\curvearrowright}\)

 

Aus der Angabe zu Teilaufgabe 1a ist die Nullstelle \(x = e\) bekannt. \(G_{f}\) hat also genau den einen Wendepunkt \(W(e|0)\).   

 

2. Möglichkeit: Nachweiß des Wendepunkts mithilfe der dritten Ableitung

Anmerkung:

Diese Möglichkeit weist zwar den Wendepunkt nach, sie ist aber zeitaufwendiger. Grundsätzlich hat diese Methode den Nachteil, dass sie das Krümmungsverhalten des zu untersuchenden Graphen nicht erfasst.

 

Dritte Ableitung \(f'''\) bilden

Die dritte Ableitung \(f'''\) kann mithilfe der Quotientenregel gebildet werden.

 

\[f''(x) = \frac{4}{x^{2}} \cdot (1 - \ln{x}) = 4 \cdot \frac{\textcolor{#0087c1}{1 - \ln{x}}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2}}}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

\[\begin{align*} f'''(x) &= 4 \cdot \left[ \frac{\textcolor{#0087c1}{(0 - \frac{1}{x})} \cdot \textcolor{#cc071e}{x^{2}} - \textcolor{#0087c1}{(1 - \ln{x})} \cdot \textcolor{#cc071e}{2x}}{\textcolor{#cc071e}{\left(x^{2}\right)^{2}}} \right] \\[0.8em] &= 4 \cdot \left[ \frac{-x - 2x(1 - \ln{x})}{x^{4}} \right] &&| \; x\;\text{ausklammern und kürzen} \;(x \in \mathbb R^{+}) \\[0.8em] &= 4 \cdot \left[ \frac{\cancelto{1}{x}(-1 - 2(1 - \ln{x}))}{\cancelto{x^{3}}{x^{4}}} \right] \\[0.8em] &= 4 \cdot \left( \frac{-1 - 2 + 2\ln{x}}{x^{3}}\right) \\[0.8em] &= \frac{4}{x^{3}} \cdot (2\ln{x} - 3)\end{align*}\]

 

\[f'''(e) = \frac{4}{e^{3}} \cdot (2\ln{e} - 3) = \frac{4}{e^{3}} \cdot (2 \cdot 1 - 3) = -\frac{4}{e^{3}}\]

 

\[\Longrightarrow \quad f'''(e) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad W(e|0)\]

 

Gleichung der Wendetangente

Der Ansatz der Gleichung der Wendetangente \(w\) kann mit der allgemeinen Geradengleichung erfolgen.

Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

\[y = mx + t\]

Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.

\[w \colon y = mx + t\]

 

Steigung der Wendetangente berechnen:

Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen von \(f\). Also beschreibt \(f'(e)\) die Steigung der Wendetangente \(w\) im Wendepunkt \(W(e|0)\). 

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\(f'(x) = \dfrac{4}{x} \cdot \ln{x}\) (vgl. Teilaufgabe a)

 

\[m = f'(e) = \frac{4}{e} \cdot \ln{e} = \frac{4}{e} \cdot 1 = \frac{4}{e}\]

 

\[\Longrightarrow \quad w \colon y = \frac{4}{e}x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen:

Hierfür werden die Koordinaten des Wendepunktes \(W(e|0)\) in die Gleichung der Wendetangente \(w\) eingesetzt und diese nach \(t\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} W(e|0) \in w \colon 0 &= \frac{4}{e} \cdot e + t \\[0.8em] 0 &= 4 + t &&| - 4 \\[0.8em] - 4 &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad w \colon y = \frac{4}{e}x - 4\]