Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine „0" erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine „0", so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.
Ein erster Spieler entscheidet sich vor dem Spiel dafür, das Glücksrad, sofern er keine „0" erzielt, viermal zu drehen und danach das Spiel zu beenden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3a
\[P(\text{„Auszahlung"}) = 0{,}9^4 = 0{,}65610 \approx 65{,}6\,\%\]
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Der Spieler bekommt eine Auszahlung, wenn er viermal keine „0" erzielt.
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „keine 0" ist \(\dfrac{9}{10} = 0{,}9\) (Laplace-Experiment, da gleich große Sektoren).
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.
Das Spiel lässt sich als Bernoullikette der Länge \(\textcolor{#0087c1}{n = 4}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}9}\) auffassen.
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl beschreibt, wie oft keine „0" erzielt wird.
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{4};\textcolor{#cc071e}{0{,}9})\) binomialverteilt.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
\(\begin{align*}P(\text{„Auszahlung"}) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}9}}^{\textcolor{#0087c1}{4}}(\textcolor{#e9b509}{X = 4}) \\[0.8em] &= B(\textcolor{#0087c1}{4};\textcolor{#cc071e}{0{,}9};\textcolor{#e9b509}{4}) \\[0.8em] &= \binom{\textcolor{#0087c1}{4}}{\textcolor{#e9b509}{4}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}9}^{\textcolor{#e9b509}{4}} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}9})^{\textcolor{#0087c1}{4} \,-\,\textcolor{#e9b509}{4}} &&| \; \binom{n}{k = n} = 1;\; a^0 = 1 \\[0.8em] &= 0{,}9^4 = 0{,}65610 \approx 65{,}6\,\%\end{align*}\)
