In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO₂-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.
Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermitteln Sie die zugehörige Wachstumsrate in Prozent.
(zur Kontrolle: etwa 0,35 %)
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Exponentielles Wachstum und exponentielle(s) Abnahme (Abklingen)
Exponentielle(s) Wachstum (Abnahme) tritt auf, wenn ein Anfangsbestand \(B(0)\) in gleichen Zeitschritten \(t\) um einen konstanten Faktor \(a\) zunimmt (abnimmt).
\(B(t) = B(0) \cdot a^t\) mit \(a = \dfrac{B(t + 1)}{t}\)
Jede Exponentialfunktion \(f\) mit \(f(t) = a^t\; (a \in \mathbb R^+ \backslash \{1\})\) kann mit der Basis \(e\) geschrieben werden:
\(f(t) = a^t = \left(e^{\ln{a}}\right)^t = e^{\ln{a} \cdot t} = e^{k \cdot t}\) mit \(k = \ln{a}\)
| Exponentielle Wachstumstumsfunktion | Exponentielle Abklingfunktion | ||
| \(f(t) = b \cdot a^t\) mit \(a = 1+p\) | \(a > 1\) | \(f(t) = b \cdot a^t\) mit \(a = 1-p\) | \(0 < a < 1\) |
| \(f(t) = b \cdot e^{k \cdot t}\) mit \(k = \ln{a}\) | \(k > 0\) | \(f(t) = b \cdot e^{k \cdot t}\) mit \(k = \ln{a}\) | \(k < 0\) |
| \(b\): Anfangswert zum Zeitpunkt \(t = 0\) (Beobachtungsbeginn) | \(b\): Anfangswert zum Zeitpunkt \(t = 0\) (Beobachtungsbeginn) | ||
| \(a\): Wachstumsfaktor | \(a\): Ablingfaktor (Wachstumsfaktor)* | ||
| \(p\): prozentuale Zunahme (Wachstumsrate) | \(p\): prozentuale Abnahme (Wachstumsrate) | ||
| \(t\): vergangene Zeit seit \(t = 0\) | \(t\): vergangene Zeit seit \(t = 0\) | ||
| \(k\): Wachstumskonstante | \(k\): Abklingkonstante | ||
| Verdopplungszeit: \(T_V = \dfrac{\ln{2}}{k}\) | Halbwertszeit: \(T_H = -\dfrac{\ln{0{,}5}}{k}\) | ||
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 |
||
* Abnahmevorgänge werden auch als negatives Wachstum mit dem Wachstumsfaktor \(0 < a < 1\) bezeichnet.
Die CO₂-Konzentration nimmt jährlich um den Wachstumsfaktor \(a\) zu. Dann nimmt sie in den 25 Jahren von 1960 bis 1985 um den Faktor \(\textcolor{#cc071e}{a^{25}}\) zu.
\[\begin{align*}317 \cdot \textcolor{#cc071e}{a^{25}} &= 346 &&| : 317 \\[0.8em] a^{25} &= \frac{346}{317} &&| \; \sqrt[25]{\enspace} \\[0.8em] a &= \sqrt[25]{\frac{346}{317}} \\[0.8em] a &\approx 1{,}0035\end{align*}\]
Bei einem exponentiellen Wachstum gilt für den Wachstumsfaktor \(a = 1 + p\). Dabei ist \(p\) die auf den betrachteten Zeitschritt (hier ein Jahr) bezogene prozentuale Zunahme oder die Wachstumsrate. In diesem Fall ist \(p\) die jährliche prozentuale Zunahme oder die jährliche Wachstumsrate der CO₂-Konzentration.
\[\begin{align*}a &= 1{,}0035 \\[0.8em] 1 + p &= 1{,}0035 &&| -1 \\[0.8em] p &= 0{,}0035 \\[0.8em] &= 0{,}35\,\% \end{align*}\]
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 1 Analysis, 1.1.6 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion - Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme)
