Die Funktion \(k\) hat in \(x = 2\) eine Nullstelle und in \(x = -3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als Asymptote.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
Ansatz: Gebrochenrationale Funktion \(\displaystyle k(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) mit dem Zählerpolynom \(p(x)\) und dem Nennerpolynom \(q(x)\)
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
Die Bedingung „Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als Asymptote" (waagrechte Asymptote) legt fest, dass der Grad des Zählerpolynoms \(p(x)\) gleich dem Grad des Nennerpolynoms \(q(x)\) sein muss. Außerdem muss der Faktor vor der höchsten Potenz von \(x\) des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms denselben Wert haben.
Die Bedingung „... in \(x = -3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel" erfordert mindestens ein Nennerpolynom zweiten Grades. Folglich muss auch das Zählerpolynom zweiten Grades sein.
Damit lässt sich der Ansatz konkretisieren, beispielsweise zu:
\[k(x) = \frac{p(x)}{(x + 3)^{2}}\]
Die gesuchte gebrochenrationale Funktion \(k\) hat in \(x = 2\) eine Nullstelle, wenn das Zählerpolynom \(p(x)\) in \(x = 2\) eine Nullstelle hat. Dies ist z.B. der Fall für \(p(x) = x^{2} - 4\).
\[\Longrightarrow \quad k(x) = \frac{x^{2} - 4}{(x + 3)^{2}} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 6x + 9}\]
Ergänzung: Nachweis der waagrechten Asymptote mit der Gleichung \(y = 1\) (Probe)
Waagrechte Asymptoten von Graphen gebrochenrationaler Funktionen bestimmen das Verhalten im Unendlichen.
\[\begin{align*} \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \; \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 6x + 9} &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \; \frac{x^{2} \left( 1 - \frac{4}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left( 1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}} \right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \; \frac{1 - \overset{\to \, 0}{\frac{4}{x^{2}}}}{1 + \underset{\to \, 0}{\frac{6}{x}} + \underset{\to \, 0}{\frac{9}{x^{2}}}} = 1 \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad\) Die Gerade \(y = 1\) ist waagrechte Asymptote des Graphen der Funktion \(k\).
Verlauf des Graphen \(G_{k}\) der Funktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto \frac{x^{2} - 4}{(x + 3)^{2}}\)
