Berechnen Sie denjenigen Wert von \(c\), für den \(\overline{QR} = 1\) gilt.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1d

\[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}; \; D_f = \mathbb R\]

Skizze optional

Die Länge der Strecke \(\textcolor{#e9b509}{[QR]}\) entspricht dem Funktionswert \(\textcolor{#e9b509}{f(c)}\).

\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{\overline{QR}} &= 1 \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{f(c)} &= 1 \\[0.8em] 2e^{-\frac{1}{8}c^2} &= 1 &&| : 2 \\[0.8em] e^{-\frac{1}{8}c^2} &= \frac{1}{2} &&| \; \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{\big( e^{-\frac{1}{8}c^2}\, \big)} &= \ln{\frac{1}{2}} &&| \; \ln{(e^x)} = x\;(\text{allg.:}\;\log_{a}{(a^x)} = x); \; \frac{1}{2} = 2^{-1} \\[0.8em] -\frac{1}{8}c^2 &= \ln{(2^{-1})} &&| \;\log_{a}{b^r} = r \cdot \log_{a}{b}\; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] -\frac{1}{8}c^2  &= -\ln{2} &&| \cdot (-8) \\[0.8em] c^2 &= 8\ln{2} &&| \; \sqrt{\quad}\enspace (c \in \mathbb R^+\;\text{vgl. Angabe}) \\[0.8em] c &= \sqrt{8\ln{2}} &&| \; \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \; \text{(optional)} \\[0.8em] (c &= 2\sqrt{2\ln{2}})\end{align*}\]