Die Abbildung zeigt die Pyramide \(ABCDS\). Ihre Grundfläche \(ABCD\) ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten \(A(0|0|0)\), \(B(2|2|0)\), \(C(0|6|0)\) und \(D(-2|2|0)\). Der Punkt \(S(0|0|6)\) ist die Spitze der Pyramide.
Berechnen Sie die kleinste Kantenlänge sowie das Volumen der Pyramide \(ABCDS\).
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Kleinste Kantenlänge der Pyramide \(ABCDS\):
\[\overline{AB} = \vert \overrightarrow{B} \vert = \sqrt{2^2+2^2+0^2} = 2\sqrt{2}\]
Volumen der Pyramide \(ABCDS\):
\[V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AS} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 6 = 24\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Kleinste Kantenlänge der Pyramide \(ABCDS\)
An den Proportionen der Pyramide \(ABCDS\) ist zu erkennen, dass als kleinste Kantenlänge nur die Länge einer Seite des Drachenvierecks \(ABCD\) (Grundfläche) infrage kommt.
Ein Drachenviereck besitzt zwei Paare gleich langer anliegender Seiten.
In diesem Fall ist die \(x_2\)-Achse Symmetrieachse des Drachenvierecks. Die \(x_2\)-Koordinaten der Punkte \(B(2|2|0)\) und \(D(-2|2|0)\) zeigen im Vergleich zur Lage der Punkte \(A(0|0|0)\) und \(C(0|6|0)\), dass die Seiten \(\textcolor{#0087c1}{[AB]}\) und \(\textcolor{#0087c1}{[AD]}\) das Paar mit der kürzeren Seitenlänge bilden.
\[\textcolor{#0087c1}{\overline{AB}} = \vert \overrightarrow{AB} \vert = \vert \overrightarrow{B} \vert = \sqrt{2^2+2^2+0^2} = \sqrt{8} = \textcolor{#0087c1}{2\sqrt{2}}\]
Volumen der Pyramide \(ABCDS\)
Die Höhe einer Pyramide ist der Abstand der Spitze der Pyramide von der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Da die Grundfläche der Pyramide \(ABCDS\) in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt, entspricht die \(x_3\)-Koordinate von \(S(0|0|\textcolor{#cc071e}{6})\) der Höhe der Pyramide, die in diesem Fall auch durch die Länge der Kante \(\textcolor{#cc071e}{[AS]}\) gegeben ist.
Volumen einer Pyramide
\[V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\]
\(G\): Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide
\(h\): Höhe der Pyramide
Die Höhe \(h\) einer Pyramide ist der Abstand der Spitze der Pyramide von der Ebene, in der die Grundfläche \(G\) liegt.
Für die Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks \(ABCD\) (Grundfläche) werden die Längen der Diagonalen \(\textcolor{#e9b509}{[AC]}\) und \(\textcolor{#e9b509}{[BD]}\) benötigt.
Mit \(A(0|0|\textcolor{#e9b509}{0})\) und \(C(0|0|\textcolor{#e9b509}{6})\) folgt \(\textcolor{#e9b509}{\overline{AC} = 6}\) und mit \(B(2|\textcolor{#e9b509}{2}|0)\) und \(C(2|\textcolor{#e9b509}{-2}|0)\) folgt \(\textcolor{#e9b509}{\overline{BD} = 4}\).
Flächeninhalt eines Drachenvierecks
\[A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f\]
\[\begin{align*}V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot \textcolor{#e9b509}{G} \cdot \textcolor{#cc071e}{h} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overline{AS}} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4} \cdot \textcolor{#cc071e}{6} \\[0.8em] &= 24\end{align*}\]
