Vor dem Verpacken werden die verschiedenfarbigen Gummibärchen in großen Behältern gemischt, wobei der Anteil der roten Gummibärchen 25 % beträgt. Ein Verpackungsautomat füllt jeweils 50 Gummibärchen aus einem der großen Behälter in eine Tüte.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufällig ausgewählten Tüte mehr als ein Drittel der Gummibärchen rot ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Es wird angenommen, dass sich die Aufgabenstellung mit der Binomialverteilung modellieren lässt (Bitte Anmerkung beachten).

\(n = 50\) (Anzahl der Gummibärchen pro Tüte)

\(p = 0{,}25\) (Anteil roter Gummibärchen)

 

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der roten Gummibärchen in einer zufällig ausgewählten Tüte beschreibt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(50;0{,}25)\) binomialverteilt (vgl. Anmerkung)

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Ein Drittel von 50 (Gummibärchen) berechnen:

 

\[\frac{1}{3} \cdot 50 = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}\]

\[\Rightarrow \enspace X > 16\frac{2}{3} \enspace \Rightarrow \enspace X \geq 17\]

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:

\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]

Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.

Durch die Betrachtung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses „Weniger als ein Drittel der Gummibärchen einer Tüte ist rot" lässt sich die Wahrscheinlichkeitsberechnung auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückführen, welche im Stochastischen Tafelwerk (ST) in der rechten Spalte tabellarisiert ist.

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

\[\begin{align*}P_{0{,}25}^{50}(X \geq 17) &= 1 - \textcolor{#0087c1}{P_{0{,}25}^{50}(X \leq 16)} \\[0.8em] &= 1 - \textcolor{#0087c1}{\sum \limits_{I\,=\,0}^{16}B(50;0{,}25;i)} \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - \textcolor{#0087c1}{0{,}90169} \\[0.8em] &= 0{,}09831 \approx 9{,}8\,\%\end{align*}\]

 

(vgl. Abiturskript - Lernhilfen - Stochastik - Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten einer nach \(B(n;p)\)) binomialverteilten Zufallsgröße)

 

 Anmerkung:

Die Formulierung „... werden ... in großen Behältern gemischt" soll assoziieren, dass das Abfüllen von jeweils 50 Gummibärchen aus einer großen Anzahl verschiedenfarbiger Gummibärchen erfolgt, und sich die beschriebene Aufgabenstellung deshalb mit der Binomialverteilung modellieren lässt. Andernfalls ist diese Aufgabe nach dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen" aufgrund fehlender Informationen nicht lösbar.

Nun muss sich in einem „großen Behälter" aber nicht zwangsläufig eine große Anzahl an Gummibärchen befinden, weshalb unter anderem diese Aufgabe im Rahmen der Petition zum Mathematik Abitur Bayern 2021 bzw. der Analyse der Prüfungsaufgaben in die Kritik geraten ist.

Die Formulierung „... werden ... in Behältern in großer Stückzahl gemischt" würde dagegen eindeutig eine Modellierung mit der Binomialverteilung begründen.