Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014 (Beispiel-Abiturprüfung)

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Ermitteln Sie auf fünf Prozent genau, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, für einen Bewerber mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der richtig beurteilten Schriftproben"

 

Analyse der Angabe:

 

„Ermitteln Sie ..., wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, für einen Bewerber mindestens sein muss ..."

\(\Longrightarrow \quad\)Gesucht ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

 

„... damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt."

\(\Longrightarrow \quad P_{p}^{30}(X \geq 21) \geq 0{,}9\) (siehe Teilaufgabe 1b)

 

Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(30;p)\) binomialverteilt.

 

Betrachten des Gegenereignisses:

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:

\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]

Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.

\[\begin{align*} P_{p}^{30}(X \geq 21) &\geq 0{,}9 \\[0.8em] 1 - P_{p}^{30}(X \leq 20) &\geq 0{,}9 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{p}^{n}(X \leq 20) &\geq -0{,}1 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{p}^{30}(X \leq 20) &\leq 0{,}1 \end{align*}\]

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

Da der Bewerber den Vortest mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % bestehen soll, muss die gesuchte Trefferwahrscheinlichkeit grundsätzlich relativ groß sein. Für \(n = 30\) sucht man die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), für welche die Wahrscheinlichkeit der kumulativen Verteilungsfunktion \(F_{p}^{30}(20) = P_{p}^{30}(X \leq 20) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{20}B(30;p;i)\) (Zeile k = 20 und rechte Spalte im Stochastischen Tafelwerk) höchstens 0,1 beträgt.

 

\[F_{0{,}75}^{30}(k) = P_{0{,}75}^{30}(X \leq 20) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{20}B(30;0{,}75;i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}19659\]

\(\Longrightarrow \quad\) Bedingung \(P_{p}^{30}(X\leq 20) \leq 0{,}1\) mit \(p = 0{,}75\) nicht erfüllt.

 

\[F_{0{,}80}^{30}(k) = P_{0{,}80}^{30}(X \leq 20) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{20}B(30;0{,}80;i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}06109\]

\(\Longrightarrow \quad\) Bedingung \(P_{p}^{30}(X\leq 20) \leq 0{,}1\) mit \(p = 0{,}80\) auf fünf Prozent genau erfüllt.

 

\[F_{\frac{5}{6}}^{30}(k) = P_{\frac{5}{6}}^{30}(X \leq 20) = \sum \limits_{i \, = \, 0}^{20}B(30;\frac{5}{6};i) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}01971\]

\(\Longrightarrow \quad\) Bedingung \(P_{p}^{30}(X\leq 20) \leq 0{,}1\) mit \(p = \frac{5}{6} \approx 0{,}83\) übererfüllt

 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, muss für einen Bewerber mindestens 80 % betragen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt.