Klausuren Q11 / Q12 Mathematik Bayern

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Geben sie jeweils eine Integrandenfunktion \(f(x)\) und \(g(x)\) an, sodass die folgenden Gleichungen erfüllt sind.

a) \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx = 0; \; a \neq 0\)

b) \(\displaystyle \int_{-1}^{3} g(x) dx = 8\)

Anmerkung:

Die Integrandenfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) sind lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

a) \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx = 0; \; a \neq 0\)

 

Beispielsweise: \(f(x) = x\), \(f(x) = x^{3}\) oder \(f(x) = \sin{x}\)

 

Begründung:

Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx; \; a \neq 0\) ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts des Flächenstücks, das der Graph der Integrandenfunktion \(f(x)\) für \(x \in [-a;+a]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Dabei zählen die Flächeninhalte der Flächenstücke unterhalb der \(x\)-Achse negativ und die Flächeninhalte der Flächenstücke oberhalb der \(x\)-Achse positiv.

Die Gleichung \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx = 0; \; a \neq 0\) besagt demnach, dass die Flächenbilanz der für \(x \in [-a;+a]\) betrachteten Flächenstücke gleich Null ist.

Dies triff insbesondere auf Graphen von zum Koodinatenursprung punktsymmetrischen Integrandenfunktionen zu, wie beispielsweise

  • eine lineare Funktion der Form \(f(x) = mx; \; m \neq 0\) oder
  • eine Potenzfunktion \(f(x) = ax^{n}; \; a \neq 0\) mit ungeradem Exponenten \(n \in \mathbb N\) oder
  • eine Sinusfunktion der Form \(f(x) = a \cdot \sin{(bx)}; \; a, b \neq 0\).

Im einfachsten Fall wählt man

\(f(x) = x\) oder

\(f(x) = x^{3}\) oder

\(f(x) = \sin{x}\).

 

Flächenbilanz - Integrandenfunktion f(x) = x

Veranschaulichung als Flächenbilanz: Der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx\) mit der zum Koordinatenursprung punktsymmetrischen Integrandenfunktion \(f \colon x \mapsto x\) ist gleich Null.

 

Nachweis:

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*} \int_{-a}^{+a} x dx &= \left[ \frac{1}{2}x^{2} \right]_{-a}^{+a} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot (+a)^{2} - \frac{1}{2} \cdot (-a)^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{2}a^{2} - \frac{1}{2}a^{2} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

Flächenbilanz - Integrandenfunktion f(x) = x³

Veranschaulichung als Flächenbilanz: Der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx\) mit der zum Koordinatenursprung punktsymmetrischen Integrandenfunktion \(f \colon x \mapsto x^{3}\) ist gleich Null.

 

Nachweis:

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*} \int_{-a}^{+a} x^{3} dx &= \left[ \frac{1}{4}x^{4} \right]_{-a}^{+a} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot (+a)^{4} - \frac{1}{4} \cdot (-a)^{4} \\[0.8em] &= \frac{1}{4}a^{4} - \frac{1}{4}a^{4} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

Flächenbilanz - Integrandenfunktion f(x) = sin x

Veranschaulichung als Flächenbilanz: Der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx\) mit der zum Koordinatenursprung punktsymmetrischen Integrandenfunktion \(f \colon x \mapsto \sin{x}\) ist gleich Null.

 

Nachweis:

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*} \int_{-a}^{+a} \sin{x} dx &= \left[ \cos{x} \right]_{-a}^{+a} \\[0.8em] &= \cos{(+a)} - \cos{(-a)} & &| \; \cos{(-x)} = \cos{x} \\[0.8em] &= \cos{a} - \cos{a} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

b) \(\displaystyle \int_{-1}^{3} g(x) dx = 8\)

 

Beispielsweise: \(g(x) = 2\)

 

Begründung:

Es gibt unendliche viele mögliche Funktionen \(g(x)\), welche die Gleichung \(\displaystyle \int_{1}^{3} g(x) dx = 8\) erfüllen.

Graphisch interpretiert sagt die Gleichung aus, dass das Flächenstück, welches der Graph der gesuchten Integrandenfunktion \(g(x)\) für \(x \in [-1;3]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, einen Flächeninhalt von 8 FE (Flächeneinheiten) hat.

Beschränkt man sich bei dieser graphischen Betrachtung auf ein Rechteck, kommt für \(g(x)\) nur eine konstante Funktion in Frage. Die Länge des Rechtecks ist mit 4 LE (Längeneinheiten) durch die Integrationsgrenzen \(-1\) und \(3\) vorgegeben. Folglich muss die konstante Funktion \(g(x) = 2\) lauten.

 

Flächeninhalt des Flächenstücks, welches die Gerade der konstanten Funktion g(x) = 2 für x ∈ [-1;3] mit der x-Achse einschließt.

Veranschaulichung der Gleichung \(\displaystyle \int_{-1}^{3} g(x) dx = 8\) mit \(g(x) = 2\): Der Graph \(G_{g}\) der Integrandenfunktion \(g\) schließt für \(x \in [-1;3]\) mit der \(x\)-Achse ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt 8 FE ein

 

Nachweis:

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*}\int_{-1}^{3} 2 dx &= [2x]_{-1}^{3} \\[0.8em] &= 2 \cdot 3 -  2 \cdot (-1) \\[0.8em] &= 6 + 2 \\[0.8em] &= 8 \end{align*}\]