Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge senkrecht schneiden. Begründen Sie, dass die Flugzeuge dennoch - auch bei unveränderten Flugbahnen - nicht zwingend kollidieren.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe c
Flugbahn von Flugzeug \(F_1\):
\[g_1\, \colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix}\,, \enspace \lambda \in \mathbb R\]
Flugbahn von Flugzeug \(F_2\):
\[g_2\,\colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix}\,,\enspace \mu \in \mathbb R\]
Nachweis, dass sich die Flugbahnen senkrecht schneiden
Schnittpunkt der Geraden \(g_1\) und \(g_2\) nachweisen:
Lagebeziehung von Geraden
| \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \; \lambda \in \mathbb R \enspace\) und \(\enspace h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}; \; \mu \in \mathbb R\) | |||
| \(\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}, \; k \in \mathbb R \\[0.8em] \Longrightarrow \enspace \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{v}\) | \(\overrightarrow{u} \neq k \cdot \overrightarrow{v}, \; k \in \mathbb R \\[0.8em] \Longrightarrow \enspace \overrightarrow{u} \nparallel \overrightarrow{v}\) | ||
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\(A \in h\) \(\Longrightarrow \enspace\)\(g\) und \(h\) sind identisch. |
\(A \notin h\) \(\Longrightarrow \enspace\)\(g\) und \(h\) sind (echt) parallel (ggf. Abstand berechnen). |
\(\overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) - genau eine Lösung \(\Longrightarrow \enspace\)\(g\) und \(h\) schneiden sich in einem Schnittpunkt \(S\) unter dem Schnittwinkel \(\alpha\) (ggf. Schnittpunkt und/oder Schnittwinkel berechnen).
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\(\overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) - keine Lösung \(\Longrightarrow \enspace\)\(g\) und \(h\) verlaufen windschief zueinander (ggf. Abstand berechnen).
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\[g_1 \cap g_2 \colon \enspace \begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} \]
Lineares Gleichungssystem formulieren:
\[\begin {align*} \text{I}& & & &-10 + 5 \lambda &= 40 + 10 \mu \\[0.8em] \text{II}& & & \wedge & 5 \lambda &= 50 - 10 \mu \\[0.8em] \text{III}& & & \wedge & \lambda &= 10 \end {align*}\]
\(\lambda = 10\) in I und II:
\[\begin {align*} \text{I}& & & & -10 + 5 \cdot 10 &= 40 + 10 \mu \quad \Longrightarrow \quad \mu = 0 \\[0.8em] \text{II}& & & \wedge & 5 \cdot 10 &= 50 - 10 \mu \quad \Longrightarrow \quad \mu = 0 \end {align*}\]
Das Gleichungssystem besitzt mit \(\lambda = 10\) und \(\mu = 0\) eine eindeutige Lösung. Folglich schneiden sich die Geraden \(g_{1}\) und \(g_{2}\).
Schnittpunkt \(S\) berechnen:
\[S \in g_{1}\, \colon \, \overrightarrow S = \begin {pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + 10 \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S\,(40|50|10)\]
oder
\[S \in g_{2}\, \colon \, \overrightarrow S = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + 0 \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S\,(40|50|10)\]
Orthogonalität der Geraden \(g_1\) und \(g_2\) nachweisen:
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
Richtungsvektor von \(g_1\): \(\;\overrightarrow u = \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix}\)
Richtungsvektor von \(g_2\): \(\;\overrightarrow v = \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix}\)
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\overrightarrow u \circ \overrightarrow v = \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix} = 5 \cdot 10 + 5 \cdot (-10) + 1 \cdot 0 = 0\]
\[\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow u \perp \overrightarrow v\]
\[\Longrightarrow \quad g_1 \perp g_2\]
\(\Longrightarrow \quad\) Die Flugbahnen der beiden Flugzeuge schneiden sich senkrecht im Schnittpunkt \(S\,(40|50|10)\).
Bewertung der Kollisionsgefahr
Obwohl sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge \(F_1\) und \(F_2\) kreuzen, folgt daraus nicht zwingend eine Kollision, da nicht feststeht, dass die Flugzeuge den Schnittpunkt gleichzeitig erreichen.
