Im Folgenden wird ein Glücksrad mit n gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen 0 bis n - 1 durchnummeriert sind, betrachtet.
Bestimmen Sie für n = 5 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligem Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4a
\[P(\text{„genau zwei gleiche Zahlen"}) = \frac{5 \cdot 3 \cdot 4}{5^3} = 0{,}48 = 48\,\%\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Bei fünf gleich großen Sektoren des Glücksrads sind alle möglichen Zahlenkombinationen nach dreimaligem Drehen gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
\[\begin{align*}&\quad \enspace P(\text{„genau zwei gleiche Zahlen"}) = \\[0.8em] &= \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse des Ereignisses „genau zwei gleiche Zahlen"}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}\end{align*}\]
Beim 3-maligen Drehen des Glücksrads mit 5 verschiedenen Zahlen (0;1;2;3;4) gibt es insgesamt \(\boldsymbol{5^3}\) mögliche Ergebnisse (Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge).
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.
\[n^{k}\]
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten
- nicht abiturrelevant -
\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)
Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.
Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).
Beispiel:
Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?
\(n = 30\)
\(k = 8\)
Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.
Bei 5 verschiedenen Zahlen gibt es 5 Möglichkeiten dafür, welche Zahl zweimal erzielt wird.
Beispielsweise: \(\{(\textcolor{#cc071e}{0};\textcolor{#cc071e}{0};1), (\textcolor{#cc071e}{1};\textcolor{#cc071e}{1};2), (\textcolor{#cc071e}{2};\textcolor{#cc071e}{2};1), (\textcolor{#cc071e}{3};\textcolor{#cc071e}{3};1), (\textcolor{#cc071e}{4};\textcolor{#cc071e}{4};1), \dots\}\)
Es gibt \(\displaystyle \textcolor{#e9b509}{\binom{3}{2} = 3}\) Möglichkeiten dafür, in welcher Abfolge die 2 gleichen Zahlen bei 3 Drehungen erzielt werden.
Beispielsweise: \(\{(\textcolor{#e9b509}{1};\textcolor{#e9b509}{1};3), (\textcolor{#e9b509}{1};3;\textcolor{#e9b509}{1}), (3;\textcolor{#e9b509}{1};\textcolor{#e9b509}{1}), \dots\}\)
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
Es gibt 4 Möglichkeiten für eine weitere Zahl, die sich von den beiden gleichen Zahlen unterscheidet.
Beispielsweise: \(\{(1;1;\textcolor{#0087c1}{0}), (1;1;\textcolor{#0087c1}{2}), (1;1;\textcolor{#0087c1}{3}), (1;1;\textcolor{#0087c1}{4}), \dots\}\)
Somit gibt es \(\textcolor{#cc071e}{5} \cdot \textcolor{#e9b509}{3} \cdot \textcolor{#0087c1}{4}\) Möglichkeiten, genau zwei gleiche Zahlen zu erzielen und es folgt:
\[P(\text{„genau zwei gleiche Zahlen"}) = \frac{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot \textcolor{#e9b509}{3} \cdot \textcolor{#0087c1}{4}}{5^3} = 0{,}48 = 48\,\%\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligem Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden, beträgt 48 %.
